Question

Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a u = (−1, 0, 1) quanto
v = (1, 2, 1).

Answer 1

✅ Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que o vetor unitário - vetor normalizado - do vetor que é simultaneamente ortogonal aos dois vetores dados é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \hat{w} = \Bigg(\frac{-\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{-\sqrt{3}}{3} \Bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores dados:

       $\Large\begin{cases}\vec{u} = (-1, 0, 1)\\\vec{v} = (1, 2, 1) \end{cases}$

Se estamos querendo encontrar o vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores supracitados, devemos encontrar um vetor unitário ou normalizado a partir do produto vetorial dos vetores referidos, ou seja

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{w} = \frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|} \end{gathered} }$

Para calcular o produto vetorial entre os vetores "u" e "v", fazemos:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{w} = \vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\x_{\vec{u}} & y_ {\vec{u}} & z_{\vec{u}}\\x_{\vec{v}} & y_ {\vec{v}} & z_{\vec{v}} \end{vmatrix}\end{gathered} }$

• Calculando o produto vetorial:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{w} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\-1 & 0 & 1\\1 & 2 & 1 \end{vmatrix} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix}0 & 1\\2 & 1 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}-1 & 1\\1 & 1 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}-1 & 0\\1 & 2 \end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (0 - 2)\vec{i} - (-1 -1)\vec{j} + (-2 - 0)\vec{k} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -2\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-2, 2, -2) \end{gathered}$

        O produto vetorial é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{w} = (-2, 2, -2) \end{gathered}$

• Calcular o vetor unitário - vetor normalizado de "w":

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{w} = \frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(-2, 2, -2)}{\sqrt{(-2)^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}}} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(-2, 2, -2)}{\sqrt{4 + 4 + 4}} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(-2, 2, -2)}{\sqrt{12}} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(-2, 2, -2)}{2\sqrt{3}} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg(\frac{-2}{2\sqrt{3}}, \frac{2}{2\sqrt{3}}, \frac{-2}{2\sqrt{3}} \Bigg) \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg(\frac{-\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{-\sqrt{3}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

✅ Portanto, o vetor unitário procurado é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{w} = \Bigg(\frac{-\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{-\sqrt{3}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

Saiba mais:

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Solução gráfica: