Question

Encontre um vetor unitário normal ao plano de equação x-y+raiz de 2z+1=0 ?! [x-y+sqrt(2z)+1=0]

Answer 1

Dada a equação geral de um plano na forma

     $\alpha:~~ax+by+cz+d=0$


um vetor normal a este plano é o vetor $\overset{\to}{\mathbf{n}}(a,\,b,\,c).$


Para o plano dado nesta questão, temos

      $\alpha:~~x-y+\sqrt{2}z+1=0$


e um vetor normal para este plano é  $\overset{\to}{\mathbf{n}}(1,\,-1,\,\sqrt{2}).$


Como queremos um vetor unitário, devemos multiplicar este vetor pelo inverso de sua norma (ou módulo):

     $\overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\dfrac{\overset{\to}{\mathbf{n}}}{\|\overset{\to}{\mathbf{n}}\|}\\\\\\ \overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\dfrac{(1,\,-1,\,\sqrt{2})}{\|(1,\,-1,\,\sqrt{2})\|}\\\\\\ \overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\dfrac{(1,\,-1,\,\sqrt{2})}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2}}\\\\\\ \overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\dfrac{(1,\,-1,\,\sqrt{2})}{\sqrt{1+1+2}}\\\\\\ \overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\dfrac{(1,\,-1,\,\sqrt{2})}{\sqrt{4}}\\\\\\ \overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\dfrac{1}{2}\,(1,\,-1,\,\sqrt{2})$

     $\overset{\to}{\mathbf{n}}{^\circ}=\bigg(\dfrac{1}{2},\,-\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\bigg)\quad\longleftarrow\quad \textsf{esta }\mathsf{\acute{e}}\textsf{ uma resposta.}$


Outra resposta seria o vetor simétrico ao vetor acima, cujas coordenadas são as mesmas, apenas com os sinais trocados. Logo, há duas respostas possíveis.


Bons estudos! :-)