Question

encontre um vetor ortogonal aos vetores u=(-1,-5,-3) e a v=(-2,0,2)

Answer 1

Um vetor ortogonal a $\mathbf{u}=\left(-1,\,-5,\,-3 \right )$
 e $\mathbf{v}=\left(-2,\,0,\,2 \right )$ é o produto vetorial $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ (qualquer vetor paralelo a este produto vetorial também será ortogonal a $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$):


$\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\det\left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3} \end{array} \right ]\\ \\ \\ =\det\left[ \begin{array}{rrr} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -1&-5&-3\\ -2&0&2 \end{array} \right ]\\ \\ \\ =\mathbf{i}\cdot \left(-5 \right )\cdot 2+\mathbf{j}\cdot \left(-3 \right )\cdot \left(-2 \right )+\mathbf{k}\cdot \left(-1 \right )\cdot 0\\ -\left(-2 \right )\cdot \left(-5 \right )\cdot \mathbf{k}-0\cdot \left(-3 \right )\cdot \mathbf{i}-2\cdot \left(-1 \right )\cdot \mathbf{j}\\ \\ =-10\mathbf{i}+6\mathbf{j}+0\mathbf{k}\\ -10\mathbf{k}-0\mathbf{i}+2\mathbf{j}\\ \\ =\left(-10-0 \right )\mathbf{i}+\left(6+2 \right )\mathbf{j}+\left(0-10 \right )\mathbf{k}\\ \\ =-10\mathbf{i}+8\mathbf{j}-10\mathbf{k}\\ \\ =\left(-10,\,8,\,-10 \right )\\ \\ =-2\cdot \left(5,\,-4,\,5 \right )$


Logo, o vetor $\mathbf{w}=\left(5,\,-4,\,5 \right )$ é um vetor ortogonal a $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$.