Question

Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k, preciso da resolução.

Answer 1

Seja r(t) = (cost + tsent)i + (sent - tcost)j + 3k.

Para calcular o vetor normal à curva r precisamos seguir os seguintes passos:

1°) Calcular r'(t)

Derivando r encontraremos:

r'(t) = (tcost, tsent, 0)

2°) Calcular |r'(t)|

Calculando a norma da derivada:

$|r'(t)| = \sqrt{(tcost)^2+(tsent)^2} = \sqrt{t^2(sen^2t+cos^2t)}$

Como sen²t + cos²t = 1, então:

|r'(t)| = √t² = t

3°) $T(t) = \frac{r'(t)}{|'r(t)|}$

De acordo com os cálculos acima, temos que T(t) é igual a:

$T(t) = \frac{(tcost,tsent,0)}{t} = (cost,sent)$

4°) Calcular o vetor normal

O vetor normal é calculado por $N(t) = \frac{T'(t)}{|T'(t)|}$.

Como T'(t) = (-sent,cost) e |T'(t)| = 1, então o vetor normal à curva r é:

N(t) = (-sent,cost) ou N(t) = -sent i + cost j