Question

Encontre um número “c” que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para a função f(x)=x²+2x-1 , no intervalo [ 1 , 5 ].

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\bullet \: \sf f(x) = x {}^{2} + 2x - 1$

A questão quer saber o valor de um número "c" que satisfaça o Teorema do Valor Médio, isto é, em tal ponto "c" passe uma reta tangente que é paralela a uma outra que passa entre dois pontos, a expressão característica desse método é dada por:

$\sf \circ \: f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}, \:[a,b]$

Para uma função obedecer esse Teorema, ela deve cumprir as seguintes exigências:

1. "A função deve ser contínua em todo o intervalo [a,b];
2. "A função deve ser derivável em todo o intervalo [a,b].

Aplicando essa exigência em nossa função estudada, podemos ver que ela cumpre os dois requisitos, pois a mesma é uma função polinomial, ou seja, é continua em todo intervalo real e também é derivável, portanto, é possível aplicar o método nesta função:

$\sf f'(c) = \frac{(5 {}^{2} + 2.5 - 1) - (1 {}^{2} + 2.1 - 1 )}{5 - 1} \\ \\ \sf f'(c) = \sf \frac{14 - 2}{4} \\ \\ \sf f'(c) = 8$

Agora é necessário derivar a função e substituir "c" no local de "x", como é informado na expressão característica do método:

$\sf f(x) = x {}^{2} + 2x - 1 \\ \sf f'(x) = 2x + 2 \\ \sf f'(c) = 2c + 2$

Substituindo todos os dados:

$\sf 2c + 2 = 8 \: \to \: 2c = 8 - 2 \\ \boxed{ \boxed{\sf c = 3 }}$

Espero ter ajudado