Question

Encontre U ortogonal a V = (4,-1,5) e W = (1,-2,3) e que satisfaz U.(1,1,1) = -1. 

Alguém poderia fazer um passo a passo explicando como se resolve? Obrigada!

Answer 1

o nome que darei pro vetor procurado é 
$U =(x,y,z)$

U é ortogonal a V ...então o produto escalar entre U e V é 0 

$(x,y,z)\cdot(4,-1,5)=0\\\\(x*4)+(y*-1)+(z*5)=0\\\\\boxed{\boxed{4x-y+5z=0}}$


U é ortogonal a W ... então o produto escalar entre U e W é 0 

$(x,y,z)*(1,-2,3)=0\\\\\boxed{\boxed{x-2y+3z=0}}$



ele diz tbm que U.(1,1,1) = -1
então
$(x,y,z)*(1,1,1)=-1\\\\\boxed{x+y+z=-1}$

agora caindo em um sistema de equações

$\left\{\begin{matrix} 4x-y+5z=0\to \boxed{equacao 1}\\\\x-2y+3z=0 \to \boxed{equacao 2}\\\\ x+y+z=-1\to \boxed{equacao 3} \end{matrix}\right.$


agora é só resolver o sistema...há varios metodos de se fazer
x+y+z = 1
x= -1-y-z

substituindo o valor de x nas equaçoes
4(-1-y-z) -y + 5z = 0 
-4 -4y -4z -y +5z = 0 
-5y+z = 4 -> equacao 4

(-1-y-z)-2y+3z=0
-3y+2z = 1 -> equacao 5

multiplicando a equaçao 4 por (-2) e somando com a equaçao 5

$\left\{\begin{matrix} 10y-2z=-8}\\\\-3y+2z=1 \end{matrix}\right.\\\\7y=-7\\\\\boxed{y=-1}$

substituindo o valor de y na equaçao 4
-5*(-1)+z = 4
5+z = 4
z= 4-5
z = -1 

como 
x= -1-y-z
x = 1-(-1) - (-1)
x= -1+1+1
x= 1

$U = (x,y,z) \boxed{\boxed{U=(1,-1,-1)}}$