Question

Encontre todos os pontos sobre a curva x^2 + y^2 + xy=2 onde a inclinação da reta tangente é -1.

Answer 1

$x^2+y^2+xy=2$

derivando implicitamente
$\frac{d}{dx}( x^2+y^2+xy) = \frac{d}{dx}(2)\\\\2x+2y \frac{dy}{dx} +[y+x \frac{dy}{dx}] = 0\\\\2x+y+(2y+x) \frac{dy}{dx}=0\\\\\boxed{\boxed{ \frac{dy}{dx}= \frac{-(2x+y)}{(x+2y)} }} \to \text{coeficiente angular da reta tangente}$

encontrando os pontos onde dy/dx = -1

$-1 = \frac{-(2x+y)}{(x+2y)} \\\\(x+2y)=(2x+y)\\\\2y-y=2x-x\\\\\boxed{y=x}$

a inclinação da reta tangente vai ser -1 
quando x=y...desde que (x e y)sejam diferentes de 0

calculando os pontos onde x=y

$x^2+y^2+xy=2\\\\x^2+x^2+x*x=2\\\\3x^2=2\\\\ \boxed{x= \pm\sqrt{\frac{3}{2} }}$

os pontos procurados são
$P= (\sqrt{\frac{3}{2} }; \sqrt{\frac{3}{2} })\\\\Q=(-\sqrt{\frac{3}{2} }; -\sqrt{\frac{3}{2} })$

Answer 2

Resposta:

eu nao entendi pq na respota anterior ficou raiz de 3/2 e não raiz de 2/3

o 3 estava multiplicando o x, ele nao deveria passar ao outro lado dividindo o 2?

Explicação passo-a-passo: