Question

Encontre todos os números inteiros positivos m e n que satisfazem m2=303+n2.(Dica: use que m2−n2=(m+n)(m−n)).

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para encontrar os números inteiros positivos "m" e "n" que satisfazem:

m² = 303 + n² ----- vamos passar "n²" para o 1º membro, ficando:

m² - n² = 303 ----- veja que: m²-n² = (m+n)*(m-n). Assim teremos:

(m+n)*(m-n) = 303

Agora veja: se fatorarmos 303 vamos encontrar que:

303 = 3 * 101 .

Então deveremos encontrar os seguintes números:

m+n = 101    . (I)
e
m - n = 3      . (II)

ou
m+n = 303    . (III)
e
m - n = 1       . (IV).

Agora tentaremos fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento:

i) Vamos trabalhar com o sistema formado pelas expressões (I) e (II), que são:

m + n = 101     . (I)
e
m - n = 3         . (II)

Faremos o seguinte: somaremos, membro a membro, as expressões (I) e (II). Assim:

m + n = 101 ------ [esta é a expressão (I) normal]
m - n = 3 ---------- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------- somando membro a membro, teremos:
2m+0 = 104 --- ou apenas:
2m = 104
m = 104/2
m = 52 <--- Este seria o valor de "m" para esta primeira hipótese.

Agora, para encontrar o valor de "n" iremos em quaisquer uma das expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "m" por "52".
Vamos na expressão (I), que é esta:

m + n = 101 ---- substituindo-se "m" por "52", teremos:

52 + n = 101
n = 101 - 52
n = 49 <---- Este seria o valor de "n" para esta primeira hipótese.

Assim, numa primeira hipótese, teremos que:

m = 52 e n = 49 <--- Esta será uma resposta válida para os valores de "m" e de "n" nesta primeira hipótese.

ii) Agora vamos trabalhar com as expressões (III) e (IV), que são:

m + n  = 303    . (III)
e
m - n = 1      . (IV)

Faremos a mesma coisa: somaremos, membro a membro, as expressões (III) e (IV). Assim:

m + n = 303 ------- [esta é a expressão (III) normal]
m - n = 1 ----------- [esta é a expressão (IV) normal]
------------------------ somando membro a membro, teremos;
2m+0 = 304 --- ou apenas:
2m = 304
m = 304/2
m = 152 <--- Este será o valor de "m" nesta segunda hipótese.

Agora, para encontrar o valor de "n" vamos em quaisquer uma das expressões [ou na (III) ou na (IV)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "m" por "152". Vamos na expressão (III), que é esta:

m + n = 303 ----- substituindo-se "m" por "152", teremos:
152 + n = 303
n = 303 - 152
n = 151 <---- Este será o valor de "n" nesta segunda hipótese.

Assim, uma outra solução seria:

m = 152 e n = 151 <--- Esta seria outra solução nesta segunda hipótese.

iii) Assim, os possíveis valores inteiros e positivos de "m" e "n" serão estes:

m = 52 e n = 49
ou
m = 152 e n = 151

Pronto. Os possíveis valores de "m" e "n" tal que a igualdade original seja satisfeita são as que demos aí em cima, ou seja:

m = 52 e n = 49; ou m = 152 e n = 151 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

m^2 = 303 + n^2
m^2 - n^2 = (m+n).(m-n)
303 = (m+n).(m-n)

Vamos fazer a fatoração de 303 =
303/3 = 101

Para descobrir o valor de m e de n eu vou utilizando todas as possibilidades até encontrar um número que bata (porque eu ainda não estudei uma fórmula que me dê a resposta rapidamente), usando o que o problema me deu. Nesse caso eu preciso encontrar um número (m) que somado a outro número (n) dê 101, e que esses mesmo valores subtraídos dê 3.
 
303 = (52+49).(52-49)
303 = 101.3
303 = 303

Tirando Á limpo :

52^2 = 303 + 49^2
2704 = 303 + 2401
2074 = 2704

Pronto ! As bases foram igualadas, resolvemos a operação !

Espero ter ajudado ! ;)