Question

Encontre todas soluções complexas da equação sen(z) = 2​

Answer 1

As soluções da equação apresentada têm a forma $z=(\frac{4n+1}{2})\pi+i.ln(2\ñ\sqrt{3})$, sendo 'n' um número inteiro.

Como se resolver a equação diferencial?

Podemos começar assumindo que a solução da equação será complexa, e expressar o seno de z em função da forma de Euler:

$sen(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=2\\\\e^{iz}-e^{-iz}=4i$

Tendo esta expressão, é possível multiplicar em ambos membros pela função exponencial de Euler:

$e^{iz}(e^{iz}-e^{-iz})=4i.e^{iz}\\\\(e^{iz})^2-1=4i.e^{iz}$

Agora, é possível fazer a troca de variáveis $x=e^{iz}$, e resolver a equação quadrática resultante:

$x^2-1=4ix\\\\x^2-4ix-1=0\\\\x=\frac{-(-4i)\ñ\sqrt{(-4i)^2-4.1.(-1)}}{2.1}=\frac{4i\ñ\sqrt{-16+4}}{2}\\\\x=2i\ñ\frac{\sqrt{12}}{2}i=i(2\ñ\sqrt{3})$

Para achar os valores de z deve-se lembrar a troca de variáveis feita com a exponencial de Euler:

$e^{iz}=i(2\ñ\sqrt{3})\\\\iz=ln(i(2\ñ\sqrt{3}))=ln(i)+ln(2\ñ\sqrt{3})=\frac{\pi}{2}i+ln(2\ñ\sqrt{3})$

Dividindo pela unidade imaginária em ambos membros é possível achar o valor de z:

$z=\frac{\pi}{2}+iln(2\ñ\sqrt{3})$

Como a função seno é periódica, o valor de z é congruente após adicionar $2n\pi$, então tem-se:

$z=\frac{\pi}{2}+iln(2\ñ\sqrt{3})+2n\pi=(\frac{4n+1}{2})\pi+i.ln(2\ñ\sqrt{3}), n\in Z$

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