Question

Encontre todas as soluções em $\mathtt{ \mathbb{R} }$ :

2x² + y² + z² - 2xz + 2y- 2x + 2 = 0​

Answer 1

Uma abordagem para esse tipo de equação é procurar alguma fatoração ou tentar reescrever os termos de forma a revelar informações que não são tão óbvias. Não existe uma maneira única de se resolver, portanto em geral são problemas difíceis.

Para essa questão, vamos usar que para todo número real A vale a desigualdade

A² ≥ 0    ( I )

Além disso, A² = 0 apenas quando A = 0. A ideia é escrever a expressão como uma soma de quadrados:

2x² + y² + z² - 2xz + 2y- 2x + 2 = 0

(x² - 2xz + z²) + (x²-2x+1) + (y²+2y+1) = 0

(x-z)² + (x-1)² + (y+1)² = 0

Usando ( I ) concluímos que cada um dos três termos acima tem ser zero. Ou seja

x - z = 0

x - 1 = 0

y + 1 = 0

Logo, a única solução é x = 1, y = -1, z = 1

Outra maneira:

Como a equação é um polinômio do segundo grau, podemos escolher uma das variáveis e usar a fórmula de Bhaskara. Vamos escolher y:

y² + 2y + (2x² + z² - 2xz - 2x +2) = 0

Para haver solução real, devemos ter Δ ≥ 0. Ou seja

Δ = 4 - 4( 2x² + z² - 2xz - 2x +2)  ≥ 0

(x² - 2x + 1) + (x² - 2xz + z²) ≤ 0

(x -1)² + (x-z)² ≤ 0

Novamente usando ( I ) concluímos que

x - 1 = 0

x - z = 0

Portanto, x = z  = 1. Substituindo esses valores em ( I ) encontramos y = -1.

Resposta:

A única solução é x = 1, y = -1, z = 1