Question

Encontre todas as soluções, em inteiros positivos, da equação
$\sf 3^{m}+7=2^{n}$​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{m=2}$

$\boxed{n=4}$

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Primeiramente vamos tentar uma comprovação da solução por um método matemático mais simples: a soma de dois números ímpares dá um número par. Então:

$3^m + 7 = 2^n \Rightarrow 3^m$ é número ímpar e $2^n$ é número par.

Separando as variáveis no primeiro membro da equação:

$7 = 2^n - 3^m$

$2^n - 3^m = 7$

Vemos aqui que no Conjunto de Inteiros Positivos esta operação só é possível com $2^n \geq 3^m$

Agora vamos ver as possibilidades das potências de  base 2 e 3 com expoentes a partir de zero:

2⁰ = 1                                          3⁰ = 1

2¹ = 2                                         3¹ = 3

2² = 4                                        3² = 9 ⇒ valor de m = 2

2³ = 8                                        3³ = 27

2⁴ = 16     ⇒ valor de n= 4      3⁴ = 81

Comprovamos aqui que a soma é de dois números ímpares 9 e 7. O resultado dá número par = 16

9 + 7 = 16

3² + 7 = 2⁴   , sendo m = 2 e n = 4

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Pelas Equações Diofantinas - Ternas Pitagóricas

EQUAÇÕES DIOFANTINAS QUADRÁTICAS  - são equações polinomiais as quais só aceitam soluções com números inteiros. Existem de três tipos destas equações : Triplas ou Ternas Pitagóricas - Identidade de  Bezout e Equação de Pell.

Esta equação é uma Terna Pitagórica Primitiva. A principal característrica dela é que mdc(3,7,2) = 1

O objetivo do método é encontrar as soluções inteiras positivas da equação. Neste caso o valor das variáveis m e n.

$3^m + 7 =2^n$    

$3^m + 7 = 2^n \Rightarrow3^m +7 \equiv 1 \equiv 2^n \equiv (-1)^n (mod3)$  $m/b-a$  

$0\equiv (-1)^m - 1(mod4)$

$1 \equiv (-1)^n$ , na potenciação, o expoente par dá resultado positivo. Sendo assim, n = 2k

$3^m + 7 = 2^{2k}$

$3^m +7 = 4^{k}$  ⇒ aplicando a propriedade básica da congruência ($a \equiv b$) quando m divide (a - b), temos:

$3^m+7=4^k \Rightarrow 3^m+ 7 \equiv 0 \equiv (-1)^m -1 (mod4)$

$0\equiv (-1)^m - 1 \equiv (4-1)=3$, m é par da forma m = 2l

Substituindo  $2l$ na equação:

$3^m + 7 = 2^n \Rightarrow3^{2l}+7 = 2^{2k}\Rightarrow 2^{2k}- 3^{2l}=7 \Rightarrow(2^k+3^l)(2^k-3^l)=7$

$\left \{ {{2^k+3^l=7} \atop {2^k-3^l=1}} \right.$

$2^k+2^k=8 \therefore 2.2^k= 8\therefore2^k = 8:2\therefore2^k =4\therefore2^k=2^2\therefore k=2$  

Calculando l:

$2^k + 3^l = 7 \therefore 2^2 + 3^l =7 \therefore 3^l = 7-4 \therefore 3^l =3 \\l=1$

$m= 2l = 2.1 = 2$

$n = 2k = 2.2 = 4$

A Equação Diofantina demonstra que o valor para as variáveis me e n nesta equação é 2 e 4 respectivamente.

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