Question

Encontre todas as soluções da equação.


$\mathsf{x!+y!+z!=x!\cdot y!}$


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Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

Vamos considerar que a função fatorial é referente apenas a números naturais. Agora, vamos assumir, sem perda de generalidade, que $y\ge x$, já que a equação é simétrica nessas duas incógnitas. Dividindo toda a equação por $x!$:

$1+\dfrac{y!}{x!}+\dfrac{z!}{x!}=y!\\\\\dfrac{z!}{x!}=y!-\dfrac{y!}{x!}-1$

A igualdade obtida apresenta, no lado direito, a soma de números inteiros e, portanto, resulta em um número inteiro. Logo, o lado esquerdo também deve sê-lo. Para isso, devemos ter: $z\ge x$.

Agora, dividindo a equação inicial por $y!$:

$\dfrac{x!}{y!}+1+\dfrac{z!}{y!}=x!\\\\\dfrac{z!}{y!}=\dfrac{x!}{y!}+x!-1$

No lado direito, se $x=y$, temos uma soma de números inteiros, novamente. Nesse caso, devemos ter $z\ge y$. Se $x<y$, o lado direito representará um racional não inteiro. Para que isso seja possível, devemos ter $z<y$. Desse modo, vamos abrir em 2 casos:

⇒ Se $x<y$:

Já foi visto que $z\ge x$ e $y>z$. Fazendo uma troca de variáveis para facilitar a escrita:

$x!=a\\\\z!=\underbrace{z(z-1)(z-2)...(x+1)}_{b}x!\\\\z!=ba\\\\y!=\underbrace{y(y-1)(y-2)...(z+1)}_{c}\z!\\\\y!=cba$

Aplicando na equação original:

$x!+y!+z!=x!\cdot y!\\\\a+cba+ba=a\cdot cba\\\\\dfrac{1}{a}(a+cba+ba)=\dfrac{1}{a}(a\cdot cba)~~~(a=x!\neq 0)\\\\1+cb+b=cba\\\\1=cba-cb-b\\\\1=b(ca-c-1)$

A última equação é o produto de dois números inteiros que resulta em 1. Como $b>0$, $ca-c-1$ deve ser positivo também. Assim, é necessário que:

$b=1\to z!=x!\to z=x\\\\ ca-c-1=1\to ca-c=2\to c(a-1)=2$

Na última igualdade, vê-se o produto de dois inteiros não-negativos resultando em 2. Então, há 2 possibilidades: $c=1$ e $a-1=2$ ou $c=2$ e $a-1=1$. A primeira é impossível, pois, teríamos $c=1\to y!=z!\to y=z$ ao mesmo tempo que $y>z$. Na segunda, teríamos:

$a-1=1\to a=2\to x!=2\to x=2\\\\ c=2\to y!=cba=2\cdot1\cdot2\to y!=4\to\,Absurdo!$


⇒ Se $x=y$:

Neste caso, $z\ge y$, como visto anteriormente. Fazendo uma troca de variáveis semelhante:

$x!=y!=a\\\\ z!=\underbrace{z(z-1)\cdot...\cdot (y+1)}_{b}\cdot y!\\\\ z!=ba$

Substituindo na equação dada:

$x!+y!+z!=x!\cdot y!\\\\ a+a+ba=a\cdot a\\\\ 2a+ba=a^2\\\\ \dfrac{1}{a}(2a+ba)=\dfrac{1}{a}(a^2)~~~(a=x!\neq 0)\\\\ 2+b=a$

Então:

$x!=b+2\\ z!=b(b+2)$

Vamos tentar restringir as possibilidades de solução. Analisando o resto que $b$ deixa na divisão por 4 (um número interessante quando se trata de um produto de números consecutivos):

→ Se $b=4k\to b+2=4k+2$:

Como $x!=b+2$, só há duas possibilidades:

$x!=2!\Longrightarrow x!=2\Longrightarrow b=0$  (Impossível, pois $z!=b(b+2)$)

ou

$x!=3!\to x!=6\to b=4\\\to z!=4\cdot6=24\to z=4$, 

que é solução da equação.

→ Se $b=4k+1\to b+2=4k+3\to x! =4k+3$, não há solução.

→ Se $b=4k+3\to b+2=4k'+1\to x!=4k'+1$, cuja única solução é $x!=1$. Porém, esse caso é impossível, pois teríamos b negativo.

→ Se $b=4k+2$: Lembremos que $b=z(z-1)...(x+1)$ representa um produto de números consecutivos. Ao mesmo tempo, temos $b+2=y(y-1)...1$.

Assim, há 3 opções, considerando a escrita de $b$ como um produto de termos consecutivo, com $q\in\mathbb{N}$: $b=(4q+3)(4q+2)(4q+1)$ ou $b=(4q+3)(4q+2)$, ou $b=(4q+2)$. Estudando cada uma:

-- 1ª opção: $b=(4q+3)(4q+2)(4q+1)$:
$b=(4q+3)(4q+2)(4q+1)\\\\b+2=4q(4q-1)...1=(4q)!\\\\\to\underbrace{(4q+3)(4q+2)(4q+1)+2}_{f(q)}=\underbrace{(4q)!}_{g(q)}$

Note que, nos dois lados, encontram-se funções sempre positivas para $q>0$. Além disso, o crescimento da função do lado direito é maior que o da do lado esquerdo. Desse modo, se houver raiz real, há apenas uma. Testando pequenos casos, para:

$q=1:\\f(1)=(4\cdot1+1)(4\cdot1+2)(4\cdot1+3)+2=212\\g(1)=(4\cdot1)!=4!=24\\\to f(1)>g(1)\\\\q=2:\\f(1)=992\\ g(1)=40320\\\to f(2)<g(2)$

Desse modo, a raiz não é um número que não é inteiro, localizado em $(1,2)$.
-- 2ª opção: $b=(4q+3)(4q+2)$:

$b+2=(4q+1)4q...1=(4q+1)!\\\\\to \underbrace{(4q+3)(4q+2)+2}_{f(q)}=\underbrace{(4q+1)!}_{g(q)}$

Analisando analogamente os casos em $q$:

$q=1:\\f(1)=44\\g(1)=120\\\to f(1)<g(1)$
Como o crescimento de $g(q)$ é maior que o de $f(q)$, não há raiz para $q\ge1$.

-- 3ª opção: $b=(4q+2)$:

$b+2=4q(4q-1)...1=(4q)!\\\\\to\underbrace{(4q+2)+2}_{f(q)}=\underbrace{(4q)!}_{g(q)}$

Novamente, fazendo uma análise para valores pequenos de $q$:
$q=1:\\f(1)=6\\g(1)=24\\\to f(1)<g(1)$

Como o crescimento de $g(q)$ é maior que o de $f(q)$, não há raiz para $q\ge1$

Portanto, a única solução possível para a equação em $\mathbb{N}$ é: $\boxed{(3,3,4)}$