Encontre todas as raízes da equação do 3° grau
Soluções para a tarefa
Resposta:
Uma equação do 3º grau é toda equação do tipo
ax3+bx2+cx+d=0
onde a,b,c e d são números reais chamados de coeficientes da equação.
Por exemplo, na equação
3x3+4x2−5x+6=0
os coeficientes são
a=3,b=4,c=−5,d=6
Já na equação
−x3+7x−8=0
temos que
a=−1,b=0,c=7,d=−8
Resolver uma equação do 3º grau significa encontrar suas raízes (ou zeros), os quais são os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.
Se tomarmos a equação
x3+x2+x+1=0
temos que uma de suas raízes vale −1, pois
(−1)3+(−1)2+(−1)+1=−1+1−1+1=0
É importante ressaltar que uma equação do 3º grau tem sempre, no máximo 3 raízes distintas entre si.
A equação
x3−3x2+3x−1=0
tem como única raiz o número x=1. Deste modo, dizemos que a multiplicidade da raiz é 3 pois, de certo modo, ela “ocupa” o espaço das três possíveis raízes da equação.
Já na equação
x3−3x+2=0
as suas raízes são x=1, de multiplicidade 2, e x=−2, de multiplicidade 1. Note que a soma das multiplicidades das raízes é igual ao grau da equação - este é um resultado válido sempre.
As Relações de Girard para uma equação do 3º grau estabelecem expressões entre as três raízes da equação e seus coeficientes.
Assim, dada uma equação do 3º grau
ax3+bx2+cx+d=0
de raízes r1,r2 e r3, temos que
r1+r2+r3=−ba
r1⋅r2+r1⋅r3+r2⋅r3=ca
r1⋅r2⋅r3=−da