Question

Encontre:

$\dfrac{d^9^9}{dx^9^9} (senx)$

Answer 1

Olá!

A derivada procurada é  $\mathsf{\dfrac{d^{99}}{dx^{99}}(\sin x)=-\cos x}$.

Explicação passo a passo:

Deseja-se encontrar   $\mathsf{\dfrac{d^{99}}{dx^{99}}(\sin x)}$, ou seja, a derivada de ordem 99 da função seno.

Observe:

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{2}}{dx^2}(\sin x)=-\sin x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{3}}{dx^3}(\sin x)= -\cos x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{4}}{dx^4}(\sin x)= \sin x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{5}}{dx^5}(\sin x)=\cos x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{6}}{dx^6}(\sin x)=-\sin x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{7}}{dx^7}(\sin x)=-\cos x}\\\\\mathsf{\dfrac{d^{8}}{dx^8}(\sin x)=\sin x}$

Perceba que há um padrão nos resultados obtidos. Quando a ordem da derivada é um múltiplo de 4, obtemos sempre a função sen x.  De quatro em quatro a seguinte sequêcia se repete (cos x, -sen x,  -cos x , sen x).

Desse modo, para encontrarmos a derivada de ordem 99, iremos dividir esse número por 4. Fazendo isso, obtemos:

$\mathsf{99=4\cdot 24 + 3}$

O maior múltiplo de 4 que não supera 99 é o 96. Como 96 é múltiplo de 4, a derivada de ordem 96 é sen x.  Seguindo o padrão descoberto, a derivada de ordem 99 é -cos x.

Outra forma de ver isso é observando o resto da divisão de 99 por 4, que é igual a 3. Isso significa o seguinte:

$\mathsf{\dfrac{d^{99}}{dx^{99}}(\sin x)=\dfrac{d^{3}}{dx^{3}}(\sin x)=-\cos x}$

∴    $\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{d^{99}}{dx^{99}}(\sin x)=-\cos x}}}$

Espero ter ajudado! :)

$\dotfill$

Aprenda mais:

• Derivada da função g(x)= In(sen5x)

https://brainly.com.br/tarefa/27724992