Matemática, perguntado por fisicamattos, 8 meses atrás

encontre Soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto, encontre. a) a relação de recorrência. b) os quatro primeiros termos em cada uma das soluções. i) (2+x^2)y``-xy'+4y=0 x0=0

Soluções para a tarefa

Respondido por MSGamgee85

Respostas:

$\mathsf{a_{n+2}=-\dfrac{(n^2-2n+4)}{2(n+2)(n+1)}a_n\quad n=0,1,2,3,...}$

$\displaystyle \mathsf{y(x)=a_o\bigg [1-x^2+\dfrac{1}{8}x^4-\dfrac{1}{40}x^6+...\bigg]+a_1\bigg[x-\dfrac{1}{4}x^3+\dfrac{7}{160}x^5-\dfrac{19}{1920}x^7+...\bigg]}$

Explicação passo-a-passo:

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1. Para fazer esse trabalho devemos lembrar que a solução geral de uma equação diferencial qualquer é dada por:

$\mathsf{y(x) = c_1\cdot y_1(x) + c_2\cdot y_2(x)}$

onde:

c₁ e c₂ são constantes

y₁(x) e y₂(x) são as soluções independentes

2. Quando estamos procurando soluções com séries de potências, porém, queremos que elas tenham a seguinte forma:

$\displaystyle \mathsf{y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_o)^n}$

onde:

an n = 0,1,2,3... são constantes

xo é o que chamamos de ponto ordinário

3. Para nosso problema, temos que xo = 0, logo as soluções da nossa equação devem ter a seguinte cara:

$\displaystyle \mathsf{y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n}$

4. A ideia aqui é, então, descobrir os valores dos coeficientes an para obter soluções particulares do nosso problema. Vamos fazer isso derivando a expressão acima duas vezes:

$\displaystyle \mathsf{y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}}\qquad\displaystyle \mathsf{y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}}$

Aqui eu comecei a primeira série em n = 1 pois o primeiro termo é zero, e estamos interessados somente em séries com potências positivas. Usei esse mesmo argumento para a segunda série, começando ela em n = 2, afinal os dois primeiros termos n = 0 e n = 1 são ambos nulos e a série só deve ter potências positivas.

5. Substitua as expressões acima na equação original:

$\displaystyle \mathsf{(x^2+2)\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}-x\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}+4\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0}$

Faça a distributiva na primeira série e multiplique x na terceira série:

$\displaystyle \mathsf{\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n}+2\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}-\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^n+4\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0}$

6. A ideia aqui agora é que todas as séries só tenham potências do tipo $\boxed{\mathsf{x^n}}$ pois elas fazem parte da nossa solução. Observe que a primeira, terceira e a quarta séries já estão do jeito que queremos, logo precisamos apenas modificar a segunda série.

Vamos fazer isso através da mudança no índice da série. Para fazer isso lembramos da regra prática: se o valor do índice no somatório aumentar, o valor de n na expressão deve diminuir e vice-versa.

Veja que na segunda série queremos aumentar o índice em 2 unidades, logo o valor do somatório deve diminuir em 2 unidades. Lembre-se que você deve aplicar essa mudança em todos os lugares que você encontrar o índice n.

$\displaystyle \mathsf{\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^n+4\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0}$

7. Agora todas as séries tem a mesma potência, porém todas elas devem começar do mesmo lugar. Para fazer isso, podemos observar que a primeira série não se altera se começarmos em zero, já que os valores dos termos para n = 0 e n = 1 são ambos nulos. O mesmo argumento pode ser utilizado para a terceira série. Podemos começar ela do zero, uma vez que o termo n = 0 também é nulo. Fazendo esses ajustes obtemos:

$\displaystyle \mathsf{\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n-\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^n+4\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0}$

Vamos colocar tudo em evidência e agrupar tudo num único somatório:

$\displaystyle \mathsf{\sum_{n=0}^{\infty}[n(n-1)a_n+2(n+2)(n+1)a_{n+2}-na_n+4a_n]\cdot x^n=0}$

8. Para que uma série seja nula para qualquer valor de x, então todos os seus coeficientes devem ser nulos. Em outras palavras dizemos que:

$\mathsf{n(n-1)a_n+2(n+2)(n+1)a_{n+2}-na_n+4a_n=0}$

Reorganizando os termos:

$\mathsf{n(n-1)a_n-(n-4)a_n+2(n+2)(n+1)a_{n+2}=0}\\\\\mathsf{(n^2-2n+4)a_n+2(n+2)(n+1)a_{n+2}=0}$

9. Agora vamos obter uma relação entre os coeficientes da série. Faça sempre o coeficiente de maior índice em relação ao de menor índice. Nesse caso, vamos escrever:

$\mathsf{2(n+2)(n+1)a_{n+2}=-(n^2-2n+4)a_n}\\\\\\\boxed{\mathsf{a_{n+2}=-\dfrac{(n^2-2n+4)}{2(n+2)(n+1)}a_n\qquad n=0,1,2,3,...}}$