Question

encontre os valores maximos e minimos locais, diga o intervalo em que a função é crescente ou decrescente
a) f(x)= 20-x-x²
b) f(x)= x²- (1-x)²

Answer 1

Olá, bom dia.

Para encontrarmos os valores máximos e mínimos locais de cada uma das funções e seus intervalos de crescimento e decrescimento, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

a)  $f(x)=20-x-x^2$

Esta é uma função quadrática da forma $f(x)=ax^2+bx+c,~a\neq0$.

Sabemos que:

• Se $a>0$, a função apresenta mínimo local (e absoluto) em seu vértice.
• Se $a<0$, a função apresenta máximo local (e absoluto) em seu vértice.

Como podemos ver, $a=-1<0$. Dessa forma, ela apresentará um máximo local (e absoluto) em seu vértice.

Para encontrarmos as coordenadas $(x_v,~y_v)$ de seu vértice, utilizamos as fórmulas:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}$ e $y_v=-\dfrac{\Delta}{4a},~\Delta=b^2-4ac$.

Substituindo os coeficientes $a=-1,~b=-1$ e $c=20$, teremos:

$x_v=-\dfrac{(-1)}{2\cdot(-1)}$ e $y_v=-\dfrac{(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot20}{4\cdot(-1)}$

Multiplique e some os valores

$x_v=-\dfrac{1}{2}$ e $y_v=\dfrac{81}{4}$

Dessa forma, esta função apresenta um máximo local e absoluto em $\left(-\dfrac{1}{2},~\dfrac{81}{4}\right)$.

Baseado nesta informação e sabendo que:

• A função apresenta um intervalo de crescimento nos pontos que precedem um ponto de máximo local.
• A função apresenta um intervalo de decrescimento nos pontos que procedem um ponto de máximo local.

Facilmente, podemos ver que a função apresenta um intervalo de crescimento em $\left]-\infty,~-\dfrac{1}{2}\right[$ e um intervalo de decrescimento em $\left]-\dfrac{1}{2},~\infty\right[$.

b) $f(x)=x^2-(1-x)^2$

Antes, calculemos a expansão do binômio

$f(x)=x^2-(1-2x+x^2)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f(x)=x^2-1+2x-x^2$

Cancele os termos opostos

$f(x)=2x-1$

Esta é uma equação de reta. Retas não apresentam pontos de máximo ou mínimo locais (nem absolutos).

Então, nos resta apenas determinar se ela é crescente ou decrescente, em todo o intervalo dos números reais:

Dada uma função afim da forma $f(x)=ax+b$,

• Se $a>0$, a função é crescente em todo o intervalo dos reais.
• Se $a<0$, a função é decrescente em todo o intervalo dos reais.

Como podemos ver, $a=2>0$, logo a reta é crescente e não apresenta pontos de máximo ou mínimo locais ou absolutos.

Seu intervalo de crescimento é: $]-\infty,~\infty[$.