Question

Encontre os valores maximo e mınimo absolutos de...no intervalo [1,4]​..​

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x ) = \frac{x {}^{3} }{3} - \frac{5}{2} x {}^{2} + 6x - 3$

Para verificar os máximos e mínimos absolutos, vamos usar a derivada primeira, ou seja, vamos iniciar derivando essa expressão:

$f'(x) = \frac{3.x {}^{3 - 1} }{3} - \frac{5}{2} .2.x {}^{2 - 1} + 1.6.x {}^{1 - 1} - 0 \\ \\ \boxed{ f'(x) = x {}^{2} - 5x + 6 }\: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora devemos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores que anulam a derivada primeira:

$f'(x) = 0\longrightarrow x {}^{2} - 5x + 6 = 0 \\ \begin{cases}x_{1} = 2 \\ x_{2} = 3\end{cases}$

Tendo feito isso, agora é só substituir na função os extremos do intervalo onde os máximos e mínimos estão sendo estudados e também os pontos críticos encontrados acima:

$f(1) = \frac{1 {}^{3} }{3 } - \frac{5}{2} .1 {}^{2} + 6.1 - 3 \\ \boxed{f(1) = 0,83} \\ \\ f(2) = \frac{2 {}^{3} }{3 } - \frac{5}{2} .2 {}^{2} + 6.2 - 3 \\ \boxed{f(2) =1,6} \\ \\ f(3) = \frac{3 {}^{3} }{3 } - \frac{5}{2} .3 {}^{2} + 6.3- 3 \\ \boxed{f(3) =1,5} \\ \\ f(4) = \frac{4 {}^{3} }{3 } - \frac{5}{2} .4 {}^{2} + 6.4 - 3 \\ \boxed{f(4) =2,3}$

Agora é só lembrar que:

$\underbrace{f(x) > 0}_{maximo} \: \: e \: \: \underbrace{ f(x) < 0} _{minimo} \\ x = 1 \to minimo \\ x = 4 \to maximo$

Espero ter ajudado