Question

encontre os valores de x, y e z do sistema abaixo:

{ 5x + y + z = 13
{ x + 2y - 14 z = - 31
{ x + 3y + 9 z = 43

Answer 1

Olá.

Irei utilizar o método da adição para resolver esse sistema escalonado de equações.

$I. 5x + y + z = 13$

$II. x + 2y - 14 z = - 31$

$III. x + 3y + 9 z = 43$

Irei somar a equação I e II primeiro. O objetivo é "eliminar" a incógnita "y", pois ela está com valor menor. Primeiro multiplico a equação I por (- 2) para que eu consiga eliminar a incógnita "y".

$I. 5x + y + z = 13 .(-2)$

$II. x + 2y - 14 z = - 31$

$I. -10x - 2y - 2z = -26$

$II. x + 2y - 14 z = - 31$

Agora vou somar as equações, resultando em:

$-9x - 16z = -57$

Multiplicando por -1 para ficar com sinal positivo.

$9x + 16z = 57$

Agora vou multiplicar a equação I por (-3) e somar com a terceira.

$I. 5x + y + z = 13 .(-3)$

$III. x + 3y + 9 z = 43$

$I. -15x - 3y -3z = -39$

$III. x + 3y + 9 z = 43$

Agora realizando a soma:

$-14x + 6z = 4$

Assim, temos duas equações sem o "y".

$I. -14x + 6z = 4$

$II. 9x + 16z = 57$

Vou fazer pelo método do isolamento.

$z = \frac{4 + 14x}{6}$

Agora substituindo o valor de z encontrado na outra equação

$9x + 16(\frac{4 + 14x}{6}) = 57$

$9x + \frac{224x + 64}{6} = 57$

$54x + 224x + 64 = 57$

$278x = -7$

$x = \frac{-7}{278}$

Com o valor de x é possível achar o valor de z, utilizando qualquer das duas equações sem o "y".

$-14x + 6z = 4$

$-14(\frac{-7}{278}) + 6z = 4$

$\frac{49}{139} + 6z = 4$

$6z = 4 - \frac{49}{139}$

$6z = 4 - \frac{49}{139}$

$6z = \frac{-507}{139}$

$z = \frac{-169}{272}$

Falta apenas o y agora.

$5x + y + z = 13$

$5\frac{-7}{278} + y + \frac{-169}{272} = 13$

$\frac{-35}{278} + y + \frac{-169}{272} = 13$

$y = 13 - \frac{-35}{278} - \frac{-169}{272}$

$y = 13 - \frac{18731}{3780}$

$y = 13 - \frac{18731}{3780}$

$y = \frac{-30409}{3780}$