Question

Encontre os valores de x que satisfazem a igualdade:


$5x^2+2x-1=10\sqrt{x^2}-2$

Answer 1

$5x^2+2x-1=10\sqrt{x^2}-2\\ \\ 5x^2 + 2x +1 - 10|x|=0$

Caso 1: $x\geq0$ , ergo, $|x|=x$

$5x^2 + 2x +1 - 10x=0\\ \\ 5x^2 - 8x + 1 = 0\\ \Delta=64-20=44=4\sqrt{11}$

$x=\dfrac{8\pm2\sqrt{11}}{10}\\ \\ x=\dfrac{4\pm\sqrt{11}}{5}$

Notemos que $11\ \textless \ 16\to \sqrt{11}\ \textless \ 4$ , ou seja, as duas raízes são válidas, pois satisfazem à condição $x\geq0$



Caso 2: $x\ \textless \ 0$ , ergo, $|x|=-x$
A equação fica como:

$5x^2 + 2x +1 - 10(-x)=0\\ \\ 5x^2 + 2x + 10x + 1 = 0 \\ \\ 5x^2 + 12x + 1 = 0\\ \\ \Delta = 144 - 20 = 124 = 4\cdot31$

$x = \dfrac{-12\pm2\sqrt{31}}{10}\\ \\ x=\dfrac{-6\pm\sqrt{31}}{5}$

Como $31\ \textless \ 36\to \sqrt{31}\ \textless \ 6$ , ou seja, as duas soluções são sempre negativas, o que está de acordo com a condição que demos.

Logo:


$S = \left\{\dfrac{-6-\sqrt{31}}{5}, \ \dfrac{-6+\sqrt{31}}{5}, \ \dfrac{4-\sqrt{11}}{5}, \ \dfrac{4+\sqrt{11}}{5}\right\}$

Answer 2

5x²+2x-1=10√x² -2

√x²=|x|= x ou -x

quando for x:

5x²+2x-1=10x-2

5x²-8x+1=0

x=8±√(-8)²-4×5×1/2×5

x=8±√64-20/10

x=8±√44/10

44=4×11

x=8±2√11/10

[x'=8+2√11/10=4+√11/5]

[x"=8-2√11/10=4-√11/5]

agora quando for -x

5x²+2x-1=-10x-2

5x²+12x+1=0

x=-12±√(12)²-4×5×1/2×5

x=-12±√144-20/10

x=-12±√124/10

124=4×31

x=-12±2√31/10

[x"'=-12+2√31/10=-6+√31/5]

[x""=-12-2√31/10=-6-√31/5]