Question

Encontre os valores de x que satisfaz a seguinte desigualdade: x^2 -5x<-6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mônica, que a resolução é simples.
Pede-se para encontrar o domínio da seguinte desigualdade:

x² - 5x < -6 ---- vamos passar "-6" para o 1º membro, ficando:
x² - 5x + 6 < 0 .

Veja: temos aí em cima uma equação do 2º grau que queremos que seja MENOR do que zero (ou seja, queremos que seja negativa).

Antes de iniciar, veja que uma equação do 2º grau, da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e a x'', tem a seguinte variação de sinais:

i) A função f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes, ou seja, para x < x' ou para x > x'')
ii) A função f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais às raízes (ou seja: para x = x' ou para x = x'')
iii) A função f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes, ou seja para "x" que esteja entre x' e x'', ou: x' < x < x'')

Bem, visto isso,então vamos trabalhar com a inequação dada, que é esta:

x² - 5x + 6 < 0

Antes vamos encontrar as raízes da função f(x) = x²-5x+6. Assim, se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

x' = 2
x'' = 3

Agora vamos analisar a variação de sinais (vide o que ocorre com a variação de sinais de funções do 2º grau com relação às suas raízes, visto antes). Assim:

x² - 5x + 6 < 0 ...+ + + + + + + (2)- - - - - - - - - (3)+ + + + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação dada seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim, o intervalo do domínio da inequação dada está entre as raízes, que é onde a função f(x) é negativa. Logo, o domínio será:

2 < x < 3 ------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá expressar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 2 < x < 3}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (2; 3)

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.