Question

Encontre os valores de C para os quais a função y''+y'-6y=0, y=e^ct seja solução da EDO

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais.

Devemos determinar os valores de $C$ para os quais $y=e^{Ct}$ é solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem: $y''+y'-6y=0$.

Primeiro, calculamos as derivadas de primeira e segunda ordem da função $y=e^{Ct}$

$y'=(e^{Ct})'$

Para calcular estas derivadas, lembre-se que:

• A derivada de ordem superior de uma função $y=f(x)$ é calculada pela regra: $y^{(n)}=\dfrac{d^n}{dx^n}(f(x))=\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{d}{dx}\biggr(}_{n-1~vezes}\cdots\dfrac{d}{dx}(f(x))\biggr)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(f(g(x)))=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial.
• A derivada do produto entre uma função e uma constante pode ser reescrita como: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e calcule a derivada da função exponencial

$y'=(Ct)'\cdot e^{Ct}$

Aplique a regra da constante e da potência, sabendo que $t=t^1$

$y'=C\cdot (t)'\cdot e^{Ct}\\\\\\ y'=C\cdot 1\cdot t^{1-1}\cdot e^{Ct}\\\\\\ y'=Ce^{Ct}$

Aplique a primeira propriedade para calcular a derivada segunda da função

$y''=(y')'=(Ce^{Ct})'$

Aplique a regra da constante e calcule a derivada, como anteriormente

$y''=C\cdot (e^{Ct})'\\\\\\ y''=C\cdot Ce^{Ct}\\\\\\ y''=C^2e^{Ct}$

Substituindo estes resultados na equação diferencial, teremos:

$C^2e^{Ct}+Ce^{Ct}-6e^{Ct}=0$

Fatore a expressão à esquerda da igualdade pondo $e^{Ct}$ em evidência

$e^{Ct}\cdot(C^2+C-6)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Porém, observe que o fator $e^{Ct}$ é uma função exponencial de base positiva, logo, é estritamente positiva. Portanto, têm-se que:

$C^2+C-6=0$

Esta é a chamada equação característica desta equação diferencial ordinária. Utilizamos a fórmula resolutiva para encontrar suas soluções:

$C=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1}$

Calcule a potência, multiplique e some os valores

$C=\dfrac{-1\pm\sqrt{1-(-24)}}{2}\\\\\\ C=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2}$

Calcule o radical e separe as soluções, somando os valores e simplificando as frações

$C=\dfrac{-1\pm5}{2}\\\\\\\ C=\dfrac{-1-5}{2}~~\bold{ou}~~C=\dfrac{-1+5}{2}\\\\\\ \Rightarrow~~ C=-3~~\bold{ou}~~C=2$

Estes são os valores de $C$ para os quais a função $y(t)=e^{Ct}$ são soluções desta equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.