Question

Encontre os valores de A e B que tornam F contínua em toda parte:

Answer 1

Para que f(x) seja contínua $\lim_{n \to \ 2} f(x) = f (2)$
Calculando o limite lateral à esquerda de x = 2, temos:
$\lim_{x \to \ 2^{-} } f(x) = \lim_{x \to \ 2^{-} } \frac{ 2^{-} - 4}{x - 2} = \lim_{x \to \ 2^{-} } \frac{ x^{2} - 2^{2} }{x - 2} \\ \lim_{x \to \ 2^{-} } \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = \lim_{x\to \ 2^{-} } x + 2 = 2 + 2 = 4$
Logo o limite lateral à direita também deverá ser 4:
$\lim_{x \to \ 2^{+} } f(x) = \lim_{n \to \ 2^{+} } a x^{2} + bx + c \\ a x^{2} + bx + c = 4$
$2^{2}a - 2b + 3 = 4 \\ 4a - 2b = 4 - 3 \\ 4a - 2b = 1$ (I)
Para x = 3,
$\lim_{x \to \ 3^{-} } f(x) = \lim_{x \to \ 3^{-} } a x^{2} - bx + 3 = 3^{2}a - 3b + 3$
Esse limite tem que ser equivalente ao limite pela direita:
$\lim_{x \to \ 3^{+} } f(x) = \lim_{x \to \ 3^{+} } 2x - a + b = 2.3 - a + b = 6 - a + b$
Igualando as expressões:
9a - 3b + 3 = 6 - a + b
10a - 4b = 3 (II)
Resovendo o sitema:
a = $\frac{1}{2}$
b = $\frac{1}{2}$