Question

Encontre os valores de a, b ∈ ℝ que tornam f contínua nos reais, sendo:


meu cálculo deu a = 0 e b = 0, é isso mesmo?

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{1 - x}, \: \: se \: x <1 \\ ax {}^{2} - b , \: se \: 1 \leqslant x < 3 \\ \frac{x {}^{2} - 9 }{3 - x}, \: se \: 3 \leqslant x\end{cases}$

Para que uma função seja contínua, ela deve cumprir 3 restrições, que são:

$1) \: f(x) \to \: \text{exista} \\2) \: \lim_{x \to \: a {}^{ + } } f(x) = \lim_{x \to \: a {}^{ - } } f(x) \\ 3) \: \lim_{x \to \: a } = f(x)$

Vamos iniciar pela condição 2, a mais demorada:

$\lim_{x \to \: 1 {}^{ + } } f(x) = \lim_{x \to \: 1 {}^{ - } } f(x)$

Quando x tende a 1 pela direita (+), devemos usar a função definida para valores maiores que 1, ou seja, ax²-b. Já quando x tende a 1 pela esquerda (-), devemos usar a função definida para valores maiores que -1, isto é, √(1-x). Então:

$\lim_{x \to \: 1 {}^{ + } }ax {}^{2} - b = \lim_{x \to \: 1 {}^{ - } } \sqrt{1 - x} \\ a.1 {}^{2} - b = 1 - 1 \\ a - b = 0$

Agora vamos analisar o outro limite lateral:

$\lim_{x \to \: 3 {}^{ + } } f(x)= \lim_{x \to \: 3 {}^{ - } } f(x)$

Do mesmo jeito do anterior, para quando x tende a 3 pela direita, vamos usar (x²-9)/(3-x) e quando x tende a 3 pela esquerda, vamos usar ax²-b:

$\lim_{x \to \: 3 {}^{ + } } \frac{x {}^{2} - 9}{3 - x} = \lim_{x \to \: 3 {}^{ - } } ax {}^{2} - b\\ \\ \lim_{x \to \: 3 {}^{ + } } \frac{(x + 3).(x - 3)}{3 - x} = \lim_{x \to \: 3 {}^{ - } } ax {}^{2} - b \\ \\ \lim_{x \to \: 3 {}^{ + } } \frac{(x + 3).( - 1). \cancel{(3 - x)}}{ \cancel{3 - x} } = \lim_{x \to \: 3 {}^{ - } } ax {}^{2} - b \\ \\ \lim_{x \to \: 3 {}^{ + } } - x - 3 = \lim_{x \to \: 3 {}^{ - } } ax {}^{2} - b \\ \\ - 3 - 3 = a.3 {}^{2} -b\\ \\ - 6 = 9a - b$

Resolvendo um sistema com essas equações que encontramos:

$\begin{cases} a - b = 0 \\ 9a - b = - 6\end{cases}$

Por adição, temos que:

$- a + b + 9a - b = 0 - 6 \\ 8a = - 6 \\ a = - \frac{6}{8} \\ \boxed{a = - \frac{3}{4} }$

Substituindo o valor de a em uma das equações:

$a - b = 0 \: \to \: \: - \frac{3}{4} - b = 0 \\ \boxed{ b = - \frac{3}{4}}$

Espero ter ajudado