Question

Encontre os pontos de máximo/mínimo
local e/ou global,se existirem,da função R (q)= -q³
+ 60 q² ,para . 0 ≤ q ≤
30.

Answer 1

Olá, Verinha.

$R (q)= -q\³+ 60 q\² ,\text{para }0 \leq q \leq 30 \\\\ \underline{\text{Derivada de }R(q)}: \\\\ R'(q)=-3q\²+120q$

No ponto onde a derivada se anula, temos um máximo ou mínimo local.
Vamos procurar, portanto, os valores de q que anulam a derivada:

$R'(q)=-3q\²+120q=0 \Leftrightarrow 3q\²-120q=0 \Leftrightarrow \\\\ 3q(q-40)=0 \Leftrightarrow\boxed{q=0}\text{ ou }q=40$

O valor q = 40 está fora do intervalo 0 ≤ q ≤ 30. Portanto, vamos tomar apenas o valor q = 0, que pertence ao intervalo.

Já sabemos, até aqui, que q = 0 é um máximo ou um mínimo local. Falta apenas sabermos se ele é um mínimo ou um máximo.

Para sabermos se ele é um mínimo ou um máximo, devemos investigar a segunda derivada da função no ponto q = 0.

R''(q) = - 6q + 120  $\Rightarrow$  R''(0) = 120 > 0

Como a segunda derivada no ponto q = 0 é positiva, temos que o ponto q = 0 é um MÍNIMO.