Encontre os pontos críticos e pontos de inflexão de cada função abaixo:
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
LEIA COM ATENÇÃO, CASO CONTRÁRIO NO FINAL NÃO VAI ENTENDER A SOLUÇÃO.
Quando uma grandeza passa por um mínimo ou máximo, a derivada é nula.
Máximo relativo de uma função é um “pico”, um ponto do gráfico da função mais alto que qualquer outro ponto que lhe seja vizinho. Mínimo relativo é o “fundo do vale”, um ponto do gráfico da função mais baixo que qualquer outro ponto que lhe seja vizinho. (Algumas vezes, os máximos e mínimos relativos de uma função recebem o nome de extremos relativos). Devemos observar que um máximo relativo não necessita ser o ponto mais alto do gráfico: é máximo relativo em relação aos pontos que lhe são vizinhos. Analogamente, um mínimo relativo não precisa ser o ponto mais baixo do gráfico. Conhecendo os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, podemos facilmente identificar seus máximos e mínimos relativos. Um máximo relativo ocorre quando a função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente. Um mínimo relativo ocorre quando a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.
Como uma função é crescente quando sua derivada é positiva, e decrescente quando sua derivada é negativa, os únicos pontos em que a função pode possuir um máximo ou mínimo relativo são aqueles onde a derivada ou se anula ou é indefinida. Sendo assim, chamamos de ponto crítico o ponto pertencente ao domínio da função, no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um ponto crítico. Todavia nem todo ponto critico é necessariamente um extremo relativo. Se a derivada á esquerda de um ponto crítico for positiva e negativa á sua direita , o gráfico passa de crescente a decrescente e o ponto crítico é um máximo relativo. Se a derivada à esquerda de um ponto crítico for negativa e positiva a sua direita, o gráfico passa de decrescente a crescente e o ponto crítico é um mínimo relativo. Se o sinal da variável for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, a direção do gráfico não se altera e o ponto crítico não é nem um máximo nem um mínimo relativo.
==//==
i) Uma condição necessária para xo ser a abscissa de um ponto de inflexão do gráfico de f é anular a derivada segunda. Entretanto nem todas as raízes da derivada segunda (f ’’ = 0) são abscissas de pontos de inflexão. Se uma raiz xo de f ’’(x) = 0 não anular a derivada terceira (f ’’’) , então xo é abscissa.
ii) xo é ponto de inflexão se para qualquer valor de x > xo a derivada muda de sinal.
iii) Casos em que não existe o ponto de inflexão?
---> Se a derivada segunda não se anular, então a função não tem ponto de inflexão.
----> Se a derivada segunda não variar de sinal.
a) f’(x) = 4x³ - 4
4(x³ - 1) = 0
x = 1
x³ - 1 = (x-1)(x² + x +1) = 0, não precisa analisar o sinal da função do segundo grau, pois ela é sempre positiva e não influenciará no resultado.
- - - - - - - - - - -- - + + + + + + + + + +
--------------------(1)------------------------
Em x = 1, a função f(x) deixa de ser decrescente e passa a crescente logo x = 1 é um ponto de mínimo.
f '’(x) = 12x²
a derivada segunda não muda de sinal, ou seja, é sempre positiva. Sendo assim, f(x) não possui ponto de inflexão.
b) g’(x) = 6x² -30x+36
6x² -30x+36 = 0, cujas raízes são 3 e 2.
+ + + + + + + + + - - - - - - - - - - - -+ + + + + + + + +
--------------------(2)------------------(3)------------------
x=2, a função g(x) deixa de ser crescente e passa a ser decrescente, então g(x) tem um máximo em x = 2. Já em x = 3 função g(x) deixa de ser decrescente e passa a ser crescente, então g(x) tem um mínimo em x = 3.
g ‘ ‘(x) = 12x-30
12x-30 = 0
x = 2,5
- - - - - - - - - -- - + + + + + +
----------------(2,5)----------------
A derivada segunda muda de sinal em x = 2,5. Logo em x = 2,5 tem um ponto de inflexão. E além disso a esquerda de 2,5 o sinal é negativa, então a boca está voltada para o lado do y negativo e a direita de 2,5 é positivo, então a boca está voltada para o lado do y positivo.
c) j’(x) = -1/(x+1)²
A derivada primeira não muda de sinal, ou seja, é sempre positiva. Logo a função j(x) não tem máximo e nem mínimo.
j ‘’(x) = 2(x+1)/(x+1)^4
j ‘’(x) = 2/(x+1)³
- - - - - - - - - - - + + + + + +
---------------(-1)--------------
A derivada segunda muda de sinal. Logo em x = -1 existe um ponto de inflexão.