Question

Encontre os pontos críticos da função, z = 4x²-y²+16x-6y E determine qual tipo de ponto crítico se trata.

Answer 1

⇒ Através da Matriz Hessiana, concluímos que a função possui ponto sela em (-2, -3).

☞ Teste da Derivada Segunda:

$\Large{\text{ \boxed{H( x,y) =\begin{vmatrix}\frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}} & & \frac{\partial ^{2} f}{\partial x\partial y}\\ & & \\\frac{\partial ^{2} f}{\partial y\partial x} & & \frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}\end{vmatrix}} }}$

☞ $\large{H(x,y)}$ é o Hessiano da função. A seguir, $\large{H(a,b)}$ são as coordenadas dos pontos críticos.

☞ A partir do determinante da matriz hessiana, conclui-se o seguinte:

$\large{\text{ \boxed{\begin{cases}H( a,b) >0\Longrightarrow \begin{cases}ponto\ maximo & ,\frac{\partial ^{2} f( a,b)}{\partial x^{2}} < 0\\ponto\ minimo & ,\frac{\partial ^{2} f( a,b)}{\partial ^{2} x^{2}} >0\end{cases} & \\H( a,b) < 0\Longrightarrow ponto\ sela & \\H( a,b) =0\Longrightarrow Nada\ se\ conclui & \end{cases}} }}$

➜ Temos $\large{z=f(x,y)=4x^2-y^2+16x-6y}$. Para os pontos críticos (estacionários), igualamos as Derivadas Parciais a zero, i.e,

$\large{ \begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x} =8x+16=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...( i)\\\\\frac{\partial f}{\partial y} =-2y-6=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...( ii)\end{array}}$

Das equações acima, x = -2 e y = -3. Então o único ponto crítico é o ponto (-2, -3).

➜ As Derivadas Parciais de Segunda Ordem são:

$\large{\text{ \begin{array}{l}\frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}} =8\\\\\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}} =-2\\\\\frac{\partial ^{2} f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial ^{2} f}{\partial y\partial x} =0\end{array} }}$

∴ O Hessiano para função dada é:

$\large{ H( x,y) =\begin{vmatrix}8 & 0\\0 & -2\end{vmatrix} =-16}$

Para o ponto (-2, -3), $\large{H(a,b)>0}$, logo é ponto sela.

∴ A função dada tem ponto sela em (-2, -3)  ✍️

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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o único ponto crítico da função é o ponto sela e pode ser escrito como:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C(-2, -3)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial em duas variáveis:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = f(x, y) = 4x^{2} - y^{2} + 16x - 6y\end{gathered}$

Para resolver esta questão devemos realizar duas etapas. A primeira consiste em encontrar os possíveis pontos críticos da função e a segunda consiste em classificar os pontos críticos.

Para executar a primeira etapa, devemos:

• Determinar o vetor gradiente da função e iguala-lo ao vetor nulo.

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla}f(x, y) = \vec{0}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle = (0, \,0)\end{gathered}$

     $\large\displaystyle\begin{gathered} (2\cdot4\cdot x^{2 - 1} + 1\cdot 16\cdot x^{1 - 1})\,\vec{i} +(-2\cdot y^{2 - 1} - 1\cdot6\cdot y^{1 - 1})\,\vec{j} = (0,\,0)\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} (8x + 16)\vec{i} + (-2y- 6)\vec{j} = (0,0)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (8x + 16,\,-2y - 6) = (0, 0)\end{gathered}$

• Resolver o sistema formado pelas componentes do vetor gradiente e do vetor nulo.

               $\Large\begin{cases} 8x + 16 = 0\\-2x - 6 = 0\end{cases}\Longrightarrow\Large\begin{cases}x = -2\\y = -3 \end{cases}$

• Identificar os pontos críticos.

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} C = (x, y) = (-2, -3)\end{gathered}$

Para realizar a segunda etapa devemos calcular o hessiano da função para o referido ponto crítico e, em seguida, classifica-lo em função de seu sinal. Para isso, devemos:

• Calcular a derivada segunda em termos de "x".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{xx}(x, y) = f_{x}\left[f_{x}(x, y)\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[2\cdot4\cdot x^{2 - 1} + 1\cdot16\cdot x^{1 - 1}\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[8x + 16\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot8\cdot x^{1 -1} + 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 8\end{gathered}$

• Calcular a derivada segunda em termos de "y".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{yy}(x, y) = f_{y}\left[f_{y}(x, y)\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[-2\cdot1\cdot y^{2 - 1} -1\cdot6\cdot y^{1 - 1} \right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[-2y - 6\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -1\cdot2\cdot y^{1 - 1} - 0\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -2\end{gathered}$

• Calcular a derivada mista de "x" em termos de "y".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{xy}(x, y) = f_{x}\left[f_{y}(x, y)\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[-2\cdot1\cdot y^{2 - 1} -1\cdot6\cdot y^{1 - 1} \right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{x}\left[-2y - 6\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

• Calcular a derivada mista de "y" em termos de "x".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f_{yx}(x, y) = f_{y}\left[f_{x}(x, y)\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[2\cdot4\cdot x^{2 - 1} + 1\cdot16\cdot x^{1 - 1}\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = f_{y}\left[8x + 16\right]\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 0\end{gathered}$

• Calcular o hessiano da função no ponto crítico.

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} Hf(-2, -3) = \det\mathcal{H}f(-2, -3)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix}f_{xx}(-2, -3)\:&\:f_{xy}(-2, -3)\\f_{yx}(-2, -3)\:&\:f_{yy}(-2, -3) \end{vmatrix} \end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \begin{vmatrix} 8\:&\: 0\\0\:&\:-2\end{vmatrix}\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -16\end{gathered}$

Então, o hessiano da função para o ponto "C(-2, -3)" é:

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} Hf(-2, -3) = -16\end{gathered}$

✅ Portanto:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\:Hf(-2, -3) < 0\Longrightarrow C \:\acute{e}\:ponto\:sela\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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