Question

Encontre os números reais x e y se x-2y² = -1 e log x (na base y) - 3logy (na base x) = 2.

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para determinar o valor dos números reais "x" e "y", tendo-se por base as seguintes expressões:

i)

 x - 2y² = - 1      . (I)
e
logᵧ (x) - 3logₓ (y) = 2  ----- veja que esta expressão poderá ser reescrita da seguinte forma, o que é a mesma coisa (note que se colocarmos "1" sobre logₓ (y) iremos ficar com 3*1/ logᵧ (x)). Assim, ficaremos com:

 logᵧ (x) - 3*1/logᵧ (x)  ---- ou apenas:

 logᵧ (x) - 3/logᵧ (x) = 2        . (II)

ii) Agora vamos utilizar a expressão (II), que é esta:

 logᵧ (x) - 3/logᵧ (x) = 2 ---- mmc = logᵧ (x) . Assim, utilizando-se em toda a expressão, teremos:

logᵧ (x)*logᵧ (x) - 1*3 = 2*logᵧ (x) ---- ou:
[logᵧ (x)]² - 3 = 2logᵧ (x) ---- passando o 2º membro para o 1º, teremos:
[logᵧ (x)]² - 3 - 2logᵧ (x) = 0 ---- vamos apenas ordenar, ficando:
[logᵧ (x)]² - 2logᵧ (x) - 3= 0 ---- vamos fazer logᵧ (x) = k. Com isso, ficaremos:
k² - 2k - 3 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, iremos encontrar as seguintes raízes: k' = -1 ou k'' = 3 . Mas veja que fizemos logᵧ (x) = k. Então:

iii) Para k = -1, teremos:

logᵧ (x) = - 1 ----- aplicando a definição de logaritmos temos: y⁻¹ = x

iv) Para k = 3, teremos:

logᵧ (x) --- aplicando a definição temos: y³ = x

Ou seja, "x" poderá ser:  x = y⁻¹, ou x = y³       . (III)
 
v) Agora vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos o "x" por "y⁻¹" e depois por "y³".
Assim:

v.a) Substituindo-se "x" por "y⁻¹" na expressão (I), que é esta:

x - 2y² = - 1 ---- substituindo-se x" por "y⁻¹", teremos:
y⁻¹ - 2y² = - 1 ---- veja que y⁻¹ = 1/y . Assim:
1/y - 2y² = - 1 ----- mmc = y. Assim, utilizando-o em toda a expressão, temos:
1 - y*2y² = -1*y
1 - 2y³ = -y ---- passando "-y" para o 1º membro, temos:
1 - 2y³ + y = 0 ---- ordenando, ficaremos:
- 2y³ + y + 1 = 0 ----- para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:

2y³ - y - 1 = 0 ------ note que se você aplicar as relações de Girard vai encontrar apenas uma única raiz real, que será y =1.  Logo:

y = 1 <--- raiz inválida, pois a base de logaritmos tem que ser maior do que zero e DIFERENTE de "1". Por isso esta raiz é inválida. 

v.b) Substituindo-se "x" por "y³" na expressão (I), que é esta:

x - 2y² = - 1 ---- substituindo-se "x" pelo valor acima, teremos:
y³ - 2y² = - 1 ---- passando "-1" para o 1º membro, teremos:
y³ - 2y² + 1 = 0 ----- se você aplicar as relações de Girard encontrará as seguintes raízes:

y' = 1 <---- raiz inválida, pois "y" não poderá ser "1" (note que a base de logaritmos tem que ser MAIOR do que zero e DIFERENTE de "1")
 
y'' = [1-√(5)]/2 <--- raiz inválida,pois este número é negativo. E, como vimos aí em cima a base de logaritmos tem que ser positiva).

y''' = [1+√(5)]/2 <-- Esta é a única raiz válida, pois este número dá aproximadamente igual a "1,618" (aproximadamente).

vi) Agora que já sabemos que y = [1+√(5)]/2, então vamos encontrar o valor de "x". Para isso, vamos na expressão (III), mas tomando-se apenas aquela relação em que vimos que x = y³ (pois já concluímos que y⁻¹ não foi válida. Portanto, não tomaremos a relação x = y⁻¹).
Assim, tomando-se apenas a relação de x = y³, teremos:

x = y³ --- substituindo-se "y" pelo valor acima encontrado [1+√(5)]/2, teremos:
x = {[1+√(5)]//2}³ ----- desenvolvendo-se o cubo, ficamos apenas com:
x = [16 + 8√(5)]/8 ---- dividindo-se numerador e denominador por 8, temos;
x = 2 + √(5)  <--- Este deverá ser o valor de "x".

vii) Assim, resumindo temos que:

x = [2 + √(5)] e y = [1+√(5)]/2  <--- Esta deverá ser a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.