Question

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
dadas em torno dos eixos especificados utilizado calculo diferencial e integral:

a) $y = x^{2} , x = 1, y = 0$ ao redor do eixo x.
b)$e^{x} , y=0, x = 0, x = 1$ ao redor do eixo x.
c) $y^{2}=x , x=2y$ ao redor do eixo y.

Grato por qualquer resposta!

Answer 1

Sabendo que a área do sólido de revolução é dada aproximadamente por:
$\displaystyle A(x)=\pi f^2(x)$
e tendo em mente que
$\displaystyle \int A(x)dx=V(x)$
calcularemos:
a)
$\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \pi(x^2)^2dx=\pi\int\limits_{0}^{1}x^4dx=\pi\left[\frac{1}{5}-0\right]=\boxed{\frac{\pi}{5}u.c.^3}$
(onde u.c. é unidade de comprimento)

b)
$\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \pi(e^x)^2dx=\pi\int\limits_{0}^{1}e^{2x}dx=\frac{\pi}{2}\int\limits_{0}^{1}e^udu=\boxed{\frac{\pi}{2}\left[e-1\right]~u.c.^3}$
(aqui usei a regra da substituição (u = 2x) du/2=dx)

c)
Nesse caso basta integrar em relação a y e não em relação a x, mas precisamos saber onde x = y² é igual a x = 2y, sabemos que é quando y = 0 e y = 2, é aí onde integraremos (que nem quando aprendemos a calcula

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2y} \pi(y^2)^2dy=\pi\int\limits_{0}^{2}y^4dy=\pi\left[\frac{y^5}{5}\right]_{0}^{2}=\boxed{\frac{32\pi}{5}u.c.^3}$

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bons estudos!