Question

Encontre o volume do sólido obtido ao tirarmos a região limitada pelas curvas x^2 = y - 2 e 2y - x -2 = 0 e pelas retas verticais x= 0 e x= 1, ao redor do eixo 0X.

Answer 1

Vamos utilizar o método de Discos ou Arruelas.

Então, integraremos em função de x. 

Como as curvas estão limitadas entre x = 0 e x = 1, então os limites de integração serão 0 e 1.

Precisamos colocar as duas outras curvas em função de x:

x² = y - 2 → y = x² + 2

2y - x - 2 = 0 → $y= \frac{x+2}{2}$

Agora, precisamos saber quem é R(x) e r(x).

Podemos perceber que a curva superior é x² + 2. Portanto, R(x) = x² + 2.

A curva inferior é $y= \frac{x+2}{2}$. Logo, $r(x)=\frac{x+2}{2}$.

Calculando o volume do sólido:

$V = \pi \int\limits^a_b {(R(x)^2-r(x)^2)} \, dx$
$V= \pi \int\limits^1_0 {(x^2+2)^2 - ( \frac{x+2}{2})^2 } \, dx$
$V = \pi \int\limits^1_0 {x^4+4x^2+4- \frac{x^2}{4}-x-1 } \, dx$
$V= \pi \int\limits^1_0{x^4+ \frac{15x^2}{4}-x+3 } \, dx$
$V = \pi ( \frac{x^5}{5} + \frac{5x^3}{4} - \frac{x^2}{2}+3x)$

Substituindo os limites de integração:

$V= \pi ( \frac{1}{5} + \frac{5}{4} - \frac{1}{2}+3)$
$V= \pi ( \frac{4+25-10+60}{20})$
$V= \frac{79 \pi }{20}$ → Esse é o volume pedido.