Matemática, perguntado por italohiagomascarenha, 5 meses atrás

Encontre o volume do sólido limitado por Z= x²+y² e Z=9 ?

Alguém pra dar essa força por gentileza? quem puder responder e ir descrevendo como achou os limites desconhecidos agradeço! mas quem puder ao menos responder já ajuda d+ pra que eu vá tentando entender.

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos, concluímos que o volume é $\boxed{\bf V = \frac{81\pi}{2} \:u.v}\\$

Explicação

Temos as seguintes informações:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: \:\bf z = x {}^{2} + y {}^{2} \: \: e \: \: z = 9$

O objetivo é determinarmos o volume do sólido delimitado por estas superfícies acima.

Integral dupla:

Como estamos com uma função de várias variáveis, vamos utilizar a integração dupla para encontrar o volume, sendo ela dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:V = \int\int_R f(x,y) dA \\$

Onde R é a região de integração, isto é, as delimitações do sólido formado pelas superfícies citadas anteriormente.

Região de integração:

Como foi mencionado, o sólido formado possui delimitações, onde estas são referentes as variáveis utilizadas, que no caso é x e y.

Variação em x:

Observe que a intersecção entre as superfícies z, gera meio que uma base para o sólido.

Se observarmos esta base no R², vemos que trata-se de uma circunferência de equação dada pela igualdade das equações das superfícies z. Logo:

$z = 9 \cap z = x {}^{2} + y {}^{2} \: \to \: x {}^{2} + y {}^{2} = 9\\$

Ou seja, a interseção gera uma circunferência de raio 3, onde este raio delimita de x, já que serve como uma espécie de domínio. Então:

$\: \: \: \: \: \: \: \:\:\: \:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: - 3 \leqslant x \leqslant 3$

Variação de y:

Do mesmo jeito de x, quem delimitará y é a circunferência.

Para encontrarmos o valor destas, basta observar que na realizados são duas semicircunferências que delimitam y, as suas equações são dada por:

$x {}^{2} + y {}^{2} = 9 \: \to \begin{cases}y = \sqrt{9 - x {}^{2} } \\ y = - \sqrt{9 - x {}^{2} } \end{cases}$

Consolidamos então que a região é:

$\boxed{\bf R = \{(x,y)\in \mathbb{R^2};\: - 3 \leqslant x \leqslant 3, \: - \sqrt{9 - x {}^{2} } \leqslant y \leqslant \sqrt{9 - x {}^{2} } \}} \\$

Montando a integral:

Como sabemos, $\bf z = f(x,y)$ , como temos uma função que delimita superiormente e outra inferiormente a nossa integral passa a ser:

$V = \int\int_R f(x,y)_ {sup} - f(x,y)_ {inf} \: dA \\$

Pela imagem anexada, podemos ver que quem delimita o sólido pela parte de cima é z = 9, já inferiormente é z = x²+y². Logo:

$V = \int\int_R9 - (x {}^{2} + y {}^{2} )\: dA \\$

Substituindo o restante das informações:

$V = \int _ { - 3}^{3}\int_ { - \sqrt{9 - x {}^{2} } }^{ \sqrt{9 - x {}^{2} } }9 - (x {}^{2} + y {}^{2} )\: dydx \\$

Observe que resolver esta integral no sistema de coordenadas cartesianas não é nada simples, uma vez que teremos que usar métodos de integração mais complexos.

Coordenadas polares $\bf (r,\theta)$ :

Um sistema bem mais simples para encontrarmos a solução desta integral é o de coordenadas polares, onde o cálculo é bem similar.

$\: \: \: \: \: \: \: \: V = \int\int_D f(r, \theta) dA \\$

Assim como no sistema cartesiano, devemos encontrar as variações, só que neste caso elas mudam, pois passa a ser o raio e o ângulo sobre o plano xy.

Portanto vamos determinar estas variações.

Variação do raio:

Como já foi determinado, o raio da circunferência da base é 3, a única coisa que mudará é que como estamos lidando com o raio em si, tem-se a restrição de que $\bf r \geqslant 0$ . Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0 \leqslant r \leqslant 3$

Variação do ângulo:

Como estamos limitado por uma circunferência, a abertura sobre o plano xy será de uma volta completa, ou seja:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$

Logo, a região polar de integração é dada por:

$\boxed{\bf D = \{(r, \theta);\: 0 \leqslant r \leqslant 3, \: 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \}} \\$

Mais uma vez, vamos montar a integral, sendo esta no sistema de C.P.

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_ {0}^{3}9 -( x {}^{2} + y {}^{2}) \: dA \\$

Vale ressaltar que nas polares existem umas pequenas relações de substituição, sendo elas:

$\: \: \: \boxed{x {}^{2} + y {}^{2} = r {}^{2} \: \: e \: \: dA = rdrd \theta }$

Substituindo estas informações:

$\: \: \: V = \int_{0}^{2\pi} \int_ {0}^{3}(9 -r {}^{2} ) \: rdrd \theta \\$

Para finalizar a questão, basta resolver cada uma destas integrais separadamente.

Primeira integral:

$\int_ {0}^{3}(9 -r {}^{2} ) \: rdr \: \to \: \int_ {0}^{3}9r-r {}^{3} \: dr \\ \\ \left[ \frac{9r {}^{2} }{2} - \frac{r {}^{4} }{4} \right] \bigg | _ {0}^{3} \: \to \: \frac{9.3 {}^{2} }{2} - \frac{3 {}^{4} }{4} \: \to \: \boxed{ \frac{81}{4}}$

Substituindo este resultado na segunda integral.

Segunda integral:

$\int_ {0}^{2\pi} \frac{81}{4} d \theta \: \: \to \: \: \left[ \frac{81 \theta}{4} \right] \bigg | _ {0}^{2\pi} \: \to \: \frac{81.2\pi}{4} \\ \\ \boxed{\frac{81\pi}{2} \: u.v}$