Question

Encontre o volume do solido gerado pela rotação, em torno da reta y=-3, da região limitada pelas parabolas y=x² e y=1+x-x². Tome os elemetos da area perpendiculares ao eixo de revolução.

Answer 1

Primeiro precisamos encontrar o intervalo no eixo x que forma a área que será rotacionada
Para isso encontramos os pontos onde as duas funções se cruzam
Considerando:
f(x)=x^2  e g (x)=-x^2+x+1
(estou só renomeando as funções para facilitar)
Igualamos as duas para encontras estes pontos
f (x)=g (x)
x^2=-x^2+x+1
2x^2 - x - 1= 0
Calculamdo esta equação do segundo graus temos os valores
x'=-1/2 e x"= 1 (estes são os pontos de encontro)
Será o intervalo da integração
Como vamos rotacionar em relação a reta y=-3 temos que o sólido formado terá secçoes em forma de anéis em relação ao eixo x ( será um circulo menor dentro de um maior e a área que nos interessa é a que forma entre estes dois círculos)
Sabemos que a área de um circulo é pi*R^2
E temos que a função que formará o raio maior será  g(x) e a menor f(x)
Os raios serão
Para g(x)
R'= -x^2+x+1+3= -x^2+x+4
Para f(x)
R"= x^2 +3
Temos que a área delimitada será
A(x)= [pi*(R')^2]- [pi*(R")^2]
A(x)= [pi*(-x^2+x+4)^2] - [pi*(x^2+3)]
Está é a função dá área que será integrada em função de x no intervalo encontrado.
Agora basta você encontrar a integral desta equação no intervalo de -1/2 até 1
Isto resultará no volume em função de pi
NÃO SEI SE EXCREVI TODAS AS EXPRESSÕES CORRETAMENTE, mas a idéia está correta, TENTE CONFERIR PASSO A PASSO E TERMINAR A INTEGRAL
Espero ter ajudado um pouco

Answer 2

Oi Thalia! Primeiramente teremos que encontrar as interseções entre as curvas dado pelo seguinte sistema linear:

$\displaystyle \mathsf{ \left \{ {{y=x^2} \atop {y=1+x-x^2}} \right. }$

Multiplicando todo o segundo membro por -1 nós obtemos:

$\displaystyle \mathsf{ \left \{ {{y=x^2} \atop {-y=-1-x+x^2}} \right. } \\ \\ \\ \mathsf{0=x^2+x^2-x-1} \\ \\ \mathsf{-2x^2+x+1=0}$

Resolvendo a equação nós encontramos x = -1/2 e x = 1

Perceba que a região é formada por uma arruela, de raio externo sendo:

$\displaystyle \mathsf{r_{ext}=1+x-x^2-(-3)} \\ \\ \mathsf{r_{ext}=4+x-x^2}$

E raio interno sendo:

$\mathsf{r_{int}=x^2-(-3)} \\ \\ \mathsf{r_{int}=x^2+3}$

Agora, subtraindo a área da seção de raio externo com a área da seção de raio interno, nós temos:

$\mathsf{A(x) = \pi \cdot r^2} \\ \\ \mathsf{A(x)=\pi \cdot r_{ext}^2-\pi \cdot r_{int}^2} \\ \\ \mathsf{A(x) = \pi \cdot (4+x-x^2)^2- \pi \cdot (x^2+3)^2} \\ \\ \mathsf{A(x) = \pi \cdot (-2x^3-13x^2+8x+7)}$

Daí já podemos fazer o cálculo da integral dessa expressão que encontramos em I = [-1/2,1] para encontrar o volume do sólido de revolução.

$\displaystyle \mathsf{V = \int_{-1/2}^{1} \pi \cdot (-2x^3-13x^2+8x+7) \, \, dx} \\ \\ \\ \mathsf{\pi \cdot \int_{-1/2}^{1} (-2x^3-13x^2+8x+7) \, \, dx } \\ \\ \\ \mathsf{-\frac{\pi}{2}x^4-\frac{13 \pi}{3}x^3+4 \pi x^2+7 \pi x \, \bigg|_{a \, = \, -1/2}^{b \, = \, 1} } \\ \\ \\ \mathsf{\frac{37 \pi}{6}- \bigg( - \frac{191 \pi}{96} \bigg)} \\ \\ \\ \mathsf{V = \frac{261 \pi}{32} \approx 25.62}$