Question

Encontre o volume do solido delimitado pelos paraboloides z = x^2 + y^2 e
x^2 + y^2 + z = 18.

Encontre o volume do solido E delimitado acima pela superfcie ϕ =π/4
e abaixo pela superfcie ρ = 2 cos ϕ em coordenadas esfericas.

Answer 1

1)

Z = x² + y²       ⇔ Voltado para cima

Z = 18 - x²-y²   ⇔ Voltado para baixo
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Achando ponto de intercção:

x²+y² = 18-x²-y²

2x²+2y² = 18

x²+y² = 9            ⇔ Corte é uma circunferência de raio 3
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Limites de integração em coordenadas cilíndricas 

 
 0 ≤ r ≤ 3
      
 0 ≤ β ≤ 2π
 
  x²+y²  ≤ Z ≤ 18 -x²-y²  ⇔ x²+y² = r²
 
  r² ≤ Z ≤ 18 -r²
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Módulo do jacobiano = r
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$\\ V = \int\limits{} \,\int\limits{} \, \int\limits{} \, rdzdrd \beta$

Como não temos variáveis em relação ao angulo. Podemos colocar nosso volume da seguinte maneira.

$\\ V = 2 \pi \int\limits{} \, \int\limits{} \, rdzdr$

Pelas ferramentas do "Brainly" Não vou conseguir por os limites de integração. Então vou chamar r² = a
e 18-r² = b

$\\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {} \, \int\limits^b_a {} \,rdzdr \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {} \, r(b-a)dr \\ \\ V =2 \pi \int\limits^3_0 {} \, (rb-ra)dr \\ \\ V =2 \pi \int\limits^3_0 {} \, r(18-r^2)-r(r^2)dr \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {} \, 18r-r^3-r^3dr \\ \\ V =2 \pi \int\limits^3_0 {} \, 18r-2r^3dr \\ \\ V = 2 \pi [ \frac{18r^2}{2} - \frac{2r^4}{4} ](0,3) \\ \\ V = 2 \pi [ 9r^2 - \frac{r^4}{2} ](0,3) \\ \\ V = 2 \pi (9(3)^2 - \frac{(3)^4}{2} -0)$

$\\ V = 2 \pi (9(3)^2 - \frac{(3)^4}{2} -0) \\ \\ V = 2\pi (81- \frac{81}{2} ) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{81}{2} ) \\ \\ V =81 \pi$
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2)

∅ = π/4

É um cone de inclinação 45°

Z = √(x²+y²)
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ρ = 2cos∅

Isolando o cos"

cos∅ = ρ / 2

Sabemos que:

Z = ρCos∅

Isolando cos"

Cos∅ = Z / ρ

Vamos igualar as duas igualdades...

Z/ρ = ρ/2

Multiplicando em cruz...

2Z = ρ²

2Z = ρ² 

Sabemos que:

ρ² = x²+y²+z²

2Z = x²+y²+z²

x²+y²+z²-2Z = 0

Completando o quadrado:

x²+y²+(z-1)² = 1

Temos uma esfera de centro (0,0, 1)

x²+y²+z²-2z = 0   ⇔ x²+y²+z² = ρ²

ρ² - 2Z = 0   ⇔ Z = ρCos∅

ρ² -2ρCos∅ = 0

ρ² = 2ρCos∅

ρ = 2cos∅
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Limites de integração:

π/4 ≤ ∅ ≤ π       ⇔ Chamarei de α
            
 0   ≤   θ  ≤ 2π   ⇔ Chamarei de β

 0  ≤   ρ  ≤ 2cos∅ ⇔ 2Cosα 
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Se quisermos 

Podemos calcular a integral de ∅ = 0 até π/4

E subtrair do volume total da esfera.

V = 4πr³/3 - Vi
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$Vi = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^ \frac{2 Cos \alpha }{} _0 {} \, p^2Sen \alpha dpd \alpha d \beta \\ \\ \\ Vi = 2 \pi \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, \int\limits^ \frac{2 Cos \alpha }{} _0 {} \, p^2Sen \alpha dpd \alpha d \beta \\ \\ \\ Vi = 2 \pi \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, Sen \alpha \frac{p^3}{3} |(0,2Cos \alpha )d \alpha$

$\\ Vi = 2 \pi \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, Sen \alpha \frac{(2Cos \alpha )^3}{3} d \alpha \\ \\ \\ Vi = \frac{16 \pi }{3} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, Sen \alpha cos^3 \alpha d \alpha$

Chamando Cos(α) = u

u =  Cos(α) 

du/dα = d(Cosα)/dα

du/dα = -Senα

-du = Sen(α)da
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Logo,

$\\ Vi = -\frac{16 \pi }{3} \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {} \, u^3du \\ \\ Vi = -\frac{16 \pi }{3} [ \frac{u^4}{4} ]|( 0,\frac{ \pi }{4}) \\ \\ Vi = -\frac{16 \pi }{3} [ \frac{cos^4 \alpha }{4} ](0,\frac{ \pi }{4}) \\ \\ Vi = -\frac{4 \pi }{3} [ Cos^4 \alpha ](0,\frac{ \pi }{4}) \\ \\ Vi = -\frac{4 \pi }{3} [ (Cos^4(\frac{ \pi }{4})-Cos^4(0)] \\ \\ Vi = -\frac{4 \pi }{3} [ ( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^4 -1]$

$\\ Vi = -\frac{4 \pi }{3} [ \frac{1}{4} -1] \\ \\Vi = -\frac{4 \pi }{3} [ - \frac{3}{4} ] \\ \\ Vi = \pi$

Então o volume da parte de baixo é:

V = 4πr³/3 - π

A esfera tem raio = 1

V = 4π/3 - π

V = (4π -3π)/3

V = π/3