Question

Encontre o volume da região limitada compreendida entre o cone

2(x^2 + y^2) - z^2 = 0 e o hiperboloide x^2 + y^2 - z^2 =- a^2.

Podes me ajudar nessa questão?

Answer 1

veámoslo así

CONO (de "dos alas")
                                         $z^2=2(x^2+y^2)$
HIPERBOLOIDE
                                      $z^2=x^2+y^2+a^2$

De estas dos ecuaciones, obtenemos la región donde se evaluarán las integrales
                                                 $x^2+y^2=a^2$

Tomemos los cuadrantes I y II, esto es
                $R=\left\{(x,y):-a\leq x\leq a; 0\leq y\leq\sqrt{a^2-x^2}\right\}$

Para luego cuadruplicar el volumen, esto es:

$\displaystyle V=4\iint_R\sqrt{x^2+y^2+a^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}\;dS\\ \\ \text{Haremos: }\\ \\ x=r\cos t\\ y=r\sin t\\ \\ \text{donde:}\\ \\ R=\{(r,t):0\leq r \leq a; 0\leq t \leq \pi\}\\ \\ J(r,t)=\left|\det\left(\begin{matrix}x_r&y_r\\x_t&y_t\end{matrix}\right)\right|=\left|\det\left(\begin{matrix}\cos t&\sin t\\-r\sin t&r \cos t\end{matrix}\right)\right| \\ \\ J(r,t)=r$

$\displaystyle V=4\int\limits_{0}^{a}\int\limits_{0}^{\pi}(\sqrt{r^2+a^2}-\sqrt{2}r)r dt dr \\ \\ V=2\pi\int\limits_{0}^{a}2r\sqrt{r^2+a^2}-2\sqrt{2}r^2\,dr \\ \\ V=\left(\frac{4\sqrt{2}-4}{3}\right)a^3\pi$