Question

Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 3y2 e inferiormente pelo retângulo
R=[0,1]x[0,2].

A.
74/3
B.
46
C.
86/3
D.
40/3
E.
30

Answer 1

Aplicando a integral dupla o valor do volume da região será dado por 86/3 u.v.

Integral Dupla

Para calcularmos o volume da região vamos aplicar a seguinte integral dupla:

$\int_c^d \int_a^b f(x,y) \ dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \ dx \ dy$

Onde a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d.

Como a função f(x,y) é relativamente fácil de integrar podemos aplicar a ordem de integração ∫ dx dy ou ∫ dy dx, pois o Teorema de Fubini nos garante a igualdade não importando a ordem em que a integral é resolvida.

Inicialmente podemos destacar os limites de integração:

Para x: 0 ≤ x ≤ 1;

Para y: 0 ≤ y ≤ 2.

Vamos equacionar a integral para determinar o volume da região.

$V=\int_0^2 \int_0^1 (10+x^2+3y^2) \ dx \ dy$

Resolvemos primeiramente a integral de dentro na variável x, fazendo y como constante.

$\int_0^1(10+x^2+3y^2) \ dx=\left(10x+\dfrac{x^3}{3}+3xy^2\right)\Bigg|_0^1$

$\int_0^1(10+x^2+3y^2) \ dx=\left(\dfrac{31}{3}+3y^2\right)$

Substituindo para resolver a integral de fora teremos:

$\int_0^2 \left(\dfrac{31}{3}+3y^2\right) \ dy=\left(\dfrac{31y}{3}+y^3\right)\Bigg|_0^2$

$\int_0^2 \left(\dfrac{31}{3}+3y^2\right) \ dy=\left(\dfrac{62}{3}+8\right)=\dfrac{86}{3} \ u.v.$

Para saber mais sobre Integral Dupla acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/5777569

#SPJ1