Question

Encontre o vetor u de modulo √5 ortogonal a (2,1,-1 ), tal que { u, (1,1,1) (0,1,-1)} sejam LI.

Answer 1

1- lul = √5

Então:

√(x²+y²+z²) = √5

Elevando os dois membros ao quadrado temos:

x²+y²+z² = 5 (1ª)

2- u é ortogonal a (2;1;-1)

u.a = 0

2.x+1.y-1.z = 0

2x+y-z = 0 (2ª)

3- u, (1; 1; 1) e (0; 1;-1) são linearmente dependentes.

"os vetores v1 , v2 e v3 são LD quando existem
escalares α e β, tais que v3 = αv1 + βv2"

Então:

(x;y;z) = α(1; 1; 1) + β(0; 1;-1)

x = α, y = α+β e z = α-β

Substituindo x = α nas outra duas equações temos:

y = x + β → β = y - x

e

z = x - β → β = x - z

Igualando as duas equações temos:

y -x = x - z

Então:

2x -y - z = 0 (3ª)

Agora temos que resolver o sistema:

{ x²+y²+z² = 5
{ 2x+y-z = 0
{ 2x -y - z = 0

Somando a 2ª e a 3ª temos:

4x-2z = 0

2x-z =0

z = 2x

Multiplicando a 3ª por -1 e somando com a 2ª, temos:

2y = 0

y = 0

Substituindo z e y na 1ª equação temos:

x² + 0² + (2x)² = 5

5x² = 5

x² = 5/5

x² = 1

x = √1

x = 1 ou x = -1

Como z = 2x

Para x= 1

z =2.1

z = 2

Para x = -1

z =2.(-1)

z = -2

resposta :

u = (-1;0;-2) → u = -(1;0;2)