Question

Encontre o vetor de coordenadas de p(t) na base B de P2.
A) Beta = $(1+t^{2} , t+t^{2}, 1+2t+t^{2}), p(t) = 1 + 4t +7t^{2}$

B) Beta = $(1-t^{2} , t-t^{2}, 2-t-t^{2}), p(t) = 1 + 3t - 6t^{2}$

AJUDA POR FAVOR

Answer 1

Utilizando tecnicas de combinação linear na base de vetores polinomiais, temos que:

a) (2,6-1).

b) p(t) não pertence a Beta.

Explicação passo-a-passo:

A)

Então queremos fazer a combinação dos três vetores destas base tal que:

$A.(1+t^{2}) + B.(t+t^{2})+ C.(1+2t+t^{2}) = 1 + 4t +7t^{2}$

Onde A, B e C são constantes que representam as coordenadas deste polinomio nesta base.

Assim fazendo esta multiplicação  e colocando em evidência as potencias de t:

$(A+B+C)t^2+(B+2C)t+(A+C) = 1 + 4t +7t^{2}$

Comparando o lado direito com o esquerdo, temos as seguintes equações:

$A+B+C=7$

$B+2C=4$

$A+C=1$

Substituindo a terceira equação na primeira, temos que:

$A+B+C=7$

$B+1=7$

$B=6$

Sabendo B, podemos encontrar C:

$B+2C=4$

$6+2C=4$

$2C=-2$

$C=-1$

E finalmente sabendo C, temos A:

$A+C=1$

$A-1=1$

$A=2$

Assim o vetor de coordenadas de p(t) nesta base é (A,B,C) = (2,6,-1).

B)

Da mesma forma que na questão anterior, temos que:

$A.(1-t^{2}) + B.(t-t^{2})+C.(2-t-t^{2})= 1 + 3t - 6t^{2}$

Multiplicando e reorganizando por potencias de t:

$-(A+B+C)t^2+(B-C)t+(A+2C)= 1 + 3t - 6t^{2}$

Comparando os dois lados da equação temos as três equações:

$A+B+C=6$

$B-C=3$

$A+2C=1$

Isolando A e B nas equações:

$A+B+C=6$

$B=3+C$

$A=1-2C$

E substituindo as duas equações de baixo na primeira:

$A+B+C=6$

$1-2C+3+C+C=6$

$4=6$

Encontramos um absurdo matematico, ou seja, isto significa que o vetor p(t) não pertence a base Beta, logo, não há coordenadas para ele.