Question

Encontre o valor médio de F(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2.
O valor médio de F sobre o cubo Q é dado por:
integral tripla de F(x,y,z) dx dy dz/V

a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 3/2
e) 2

Answer 1

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Valor médio da função:

$\large\begin{array}{l} \overline{\mathsf{F}}=\mathsf{\dfrac{\iiint_Q \;F(x,\,y,\,z)\,dV}{V}} \end{array}$


•   O volume do cubo do 1º octante é dado por

$\large\begin{array}{l} \mathsf{V=2\cdot 2\cdot 2}\\\\ \mathsf{V=8~u.v.} \end{array}$


•   Calculando a integral tripla da função sobre o cubo:

$\large\begin{array}{l} \mathsf{\displaystyle\iiint_Q \;F(x,\,y,\,z)\,dV}\\\\ =\mathsf{\displaystyle\iiint_Q xyz\,dV}\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2\int_0^2\int_0^2 xyz\,dz\,dy\,dx}\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2\int_0^2 xy\cdot \dfrac{z^2}{2}\bigg|_0^2\,dy\,dx} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} =\mathsf{\displaystyle\int_0^2\int_0^2 xy\cdot \dfrac{2^2}{2}\,dy\,dx}\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2\int_0^2 xy\cdot 2\,dy\,dx}\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2\int_0^2 x\cdot 2y\,dy\,dx}\\\\ =\mathsf{\displaystyle\int_0^2 x\cdot y^2\Big|_0^2\,dx} \end{array}$

___________

O valor médio da função sobre o cubo é

$\large\begin{array}{l} \overline{\mathsf{F}}=\mathsf{\dfrac{\iiint_Q \;F(x,\,y,\,z)\,dV}{V}}\\\\ \overline{\mathsf{F}}=\mathsf{\dfrac{8}{8}}\\\\ \overline{\mathsf{F}}=\mathsf{1}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(alternativa c)\quad\checkmark} \end{array}$