Question

Encontre o valor exato de f 1 0 (7x + 3x2 - 2) dx. Esse valor exato é dado por:


A) 1/3
B)-1/8
C)1
D)0
E)3/8

Answer 1

Após a realização dos cálculos fornecidos pelo enunciado concluímos que: e tem alternativa correta a letra B.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = - \dfrac{1}{8} } }$

Teorema Fundamental do Cálculo:

Se $\boldsymbol{ \textstyle \sf y = f(x) }$ é uma função contínua no intervalo $\boldsymbol{ \textstyle \sf [\; a, b\:] }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf F' (x) = f(x) }$ [ é uma primitiva ou anti-derivada $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$ ], então:

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf \int_a^b f(x) \: dx = F (x)\big|_{\sf x =a}^{\sf x =b} = F(b) - F(a) }}$

Propriedades da integral:

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int_a^b c f(x) \: dx = c \: \int_a^b f(x) \: dx }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int_a^b \left[ f(x) \pm g(x)\right]\: dx= \int_a^b f(x) \: dx \pm \int_a^b g(x) \: dx }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int_a^a f(x) \: dx = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ \bullet \quad \int_a^b f(x) \: dx = - \: \int_b^a f(x) \: dx }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx } }$

Aplicando a definição de integrais, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = 7 \int_0^1 x^7 + 3 \int_0^1 x^{2} -2 \int_0^1 dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1 x^7\: dx = \dfrac{x^{7+1}}{7+1} \Big |_{\sf x =0}^{\sf x = 1} = \dfrac{x^{8}}{8} \Big |_{\sf x =0}^{\sf x = 1} = \dfrac{1^8}{8} - \dfrac{0^8}{8} = \dfrac{1}{8} - 0 = \dfrac{1}{8} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1 x^2\: dx = \dfrac{x^{2+1}}{2+1} \Big |_{\sf x =0}^{\sf x = 1} = \dfrac{x^{3}}{3} \Big |_{\sf x =0}^{\sf x = 1} = \dfrac{1^3}{8} - \dfrac{0^3}{8} = \dfrac{1}{3} - 0 = \dfrac{1}{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1 dx = \dfrac{x^{0+1}}{0+1} \Big |_{\sf x =0}^{\sf x = 1} = \dfrac{x^{1}}{1} \Big |_{\sf x =0}^{\sf x = 1} = \dfrac{1^1}{1} - \dfrac{0^1}{1} = 1 - 0 = 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = 7 \int_0^1 x^7 + 3 \int_0^1 x^{2} -2 \int_0^1 dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = 7 \cdot \dfrac{1}{8} + 3 \cdot \dfrac{1}{3} - 2 \cdot 1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = \dfrac{7}{8} + \dfrac{3}{3} - 2} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = \dfrac{7}{8} + 1 - 2} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = \dfrac{7}{8} - 1} }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = \dfrac{7}{8} - \dfrac{8}{8} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int_0^1(7x^7 + 3x^{2} -2)\: dx = - \dfrac{1}{8} }$

Alternativa correta a letra B.

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