Question

Encontre o valor dos pontos de máximo e mínimo da função y = x³ - 6x² + 9, se existirem.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades relacionadas ao cálculo de pontos críticos e suas classificações.

Seja a função $y=x^3-6x^2+9$. Devemos determinar, se existirem, seus pontos de máximo ou mínimo.

É importante salientar que é pedido que se determinem estes pontos se existirem, pois os pontos críticos de uma função são pontos que pertencem ao seu domínio de forma que sua primeira derivada seja igual a zero: algumas funções, como a exponencial, é assintótica em $y=0$.

Neste caso, temos uma função polinomial.

Então, primeiro determinaremos seus pontos críticos. Para isso, utilizamos o teste da primeira derivada: ela deve ser igual a zero.

Derivamos a função:

$y'=(x^3-6x^2+9)'$

Lembre-se:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é calculada pela regra do produto e da constante: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$y'=(x^3)'+(-6x^2)'+(9)'$

Aplique a regra do produto

$y'=(x^3)'-6\cdot(x^2)'+(9)'$

Aplique a regra da potência e da constante

$y'=3\cdot x^2-6\cdot2x+0$

Multiplique e some os valores

$y'=3x^2-12x$

Então, iguale esta derivada a zero:

$3x^2-12x=0$

Fatore a expressão, em que $x$ como fator comum em evidência

$x\cdot(3x-12)=0$

Sabendo que o produto entre dois ou mais fatores é igual a zero se, e somente se, pelo menos um de seus fatores for igual a zero, teremos:

$x=0~~\mathsf{ou}~~3x-12=0$

Some $12$ em ambos os lados da segunda equação e divida a equação por um fator $3$

$x=0~~\mathsf{ou}~~x=4$

Estes são os pontos críticos desta função.

Para classificá-los como pontos de máximo ou mínimo locais, utilizamos o teste da segunda derivada. Seja $a$ um ponto crítico da função $f(x)$, sabe-se que:

• Se $f''(a)>0$, a função apresenta um ponto de mínimo local em $x=a$.
• Se $f''(a)<0$, a função apresenta um ponto de máximo local em $x=a$.
• Se $f''(a)=0$, nada se pode declarar a respeito deste ponto.

Calculamos a segunda derivada da função, lembrando que $f''(x)=(f'(x))'$.

$y''=(3x^2-12x)'$

Aplique a regra da soma

$y''=(3x^2)'+(-12x)'$

Aplique a regra do produto

$y''=3\cdot(x^2)'-12\cdot(x)'$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$

$y''=3\cdot 2x-12\cdot1$

Multiplique e some os valores

$y''=6x-12$

Então, calculamos o valor da segunda derivada desta função nos pontos críticos que encontramos no passo anterior.

$y''(0)=6\cdot0-12\\\\\\ y''(4)=6\cdot4-12$

Multiplique e some os valores

$y''(0)=-12\\\\\\ y''(4)=12$

Dessa forma, de acordo com o que foi dito anteriormente, conclui-se que:

A função $y=x^3-6x^2+9$ apresenta um ponto de máximo local em $x=0$ e apresenta um ponto de mínimo local em $x=4$.