Question

Encontre o valor de x∈R para o qual a expressão abaixo atinge o menor valor possível:

(x2−9)2+((x−1)2−16)2

Answer 1

O valor de x para o qual a expressão atinge o menor valor possível é -3.

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A ferramenta útil para calcular o mínimo ou máximo de uma função é a primeira derivada.  Para uma função f(x) definida em certo intervalo fechado, se f'(x) = 0, então x é um valor de máximo ou mínimo local.

Seja f(x) = (x² - 9)² + ((x-1)² - 16)² a função que se deseja encontrar o mínimo.

Podemos simplificar a expressão:

f(x) = x⁴ - 2x² + 81 + (x² - 2x + 1 - 16)²

f(x) = x⁴ - 2x² + 81 + (x² - 2x + 15)²

f(x) = x⁴ - 2x² + 81 + x⁴ - 4x³ - 26x² + 60x + 225

f(x) = 2x⁴ - 4x³ - 44x² + 60x + 306

Derivando em relação à x:

f'(x) = 8x³ - 12x² - 88x + 60

Igualando a zero:

8x³ - 12x² - 88x + 60 = 0

Utilizando o teorema das raízes racionais, as raízes do polinômio acima são os divisores de 60 sobre os divisores de 8. Considerando somente as raízes inteiras,

Possíveis raízes = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60}

Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, vê-se que -3 é raiz do polinômio, e consequentemente da equação.

Logo, o valor mínimo da função ocorre com x = -3. Substituindo na função:

f(-3) = ((-3)² - 9)² + (((-3)-1)² - 16)² = ( 9 - 9)² + (16 - 16)² = 0

Assim, o valor de x para o qual a expressão atinge o menor valor possível é -3.

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Até mais!