Question

Encontre o valor de x na equação fracionária a seguir e explique porque esta incógnita terá uma restrição para um determinado valor numérico.

Answer 1

Temos que:

$\frac{1}{x+1} +\frac{4x}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}$

Veja que $x^2-1=(x+1).(x-1)$, os quadrados da diferença, agora ficará:

$\frac{1}{x+1} +\frac{4x}{(x+1).(x-1)}-\frac{1}{x-1}=0$

Agora encontre um múltiplo comum de $x+1, (x+1).(x-1)\ e\ x-1$, visualize que $(x+1).(x-1)$, pode ser dividido pelos 3 termos anteriores, bote ele como denominador de toda a expressão agora, e faça o as manipulações necessárias, divide ele por cada denominador e depois multiplique pelos respectivos numeradores, ficando:

$\frac{x-1+4x-(x+1)}{(x+1).(x-1)}=0\\\\\frac{-2+4x}{(x+1).(x-1)}=0$

Multiplique ambos do membros por $(x+1).(x-1)$, ficando:

$-2+4x=0\\\\4x=2\\\\x=\frac{1}{2}$

Encontramos o valor de "x", a restrição é, "x" tem que ser diferente de $-1 \ e \ 1$, caso "x" tivesse um desse valores anteriores um termo ficaria:

$\frac{1}{x+1}\\\\\frac{1}{-1+1}\\\\\frac{1}{0}$

O que teoricamente seria uma divisão impossível, aqui eu testei com o -1, mas se fosse com 1, em outro termo, daria a mesma divisão impossível, assim impossibilitaria o continuar da equação.