Question

encontre o valor de m na função real f(x)=mx²+(m-1)x+(m+2), tal que o valor maximo seja 2.

Answer 1

m= -1 Bom, como o valor máximo do y é 2. Você sabe que o m é < que 0, e você sabe também que o y do vértice é -delta/4a. Então, -delta/4a=2.

Answer 2

Olá, Dcl.

f(x) é uma parábola.
O mínimo ou o máximo de uma parábola está no seu vértice.
Como o enunciado pede o valor máximo, isto significa que a parábola tem concavidade para baixo, de tal forma que o seu vértice é o "pico" da parábola, o máximo.

A abscissa do vértice de uma parábola $ax^2+bx+c$ é dada pela seguinte expressão:

$x_{\text{v\'ertice}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{m-1}{2m}\\\\ f(-\frac{m-1}{2m})=m\cdot\frac{(m-1)^2}{4m^2}-\frac{(m-1)^2}{2m}+m+2=\\\\ =(m-1)^2(\frac1{4m}-\frac1{2m})+m+2=\\\\ =(m^2-2m+1)(\frac{1-2}{4m})+m+2=\\\\ =-\frac m 4+\frac12-\frac{1}{4m}+m+2=\\\\ =\frac{-m^2+2m-1+4m^2+8m}{4m}=\frac{3m^2+10m-1}{4m}$

Como o máximo da função é 2, temos:

$\frac{3m^2+10m-1}{4m}=2\Leftrightarrow 3m^2+10m-1=8m\Leftrightarrow 3m^2+2m-1=0$

A solução desta equação pode ser encontrada pela Fórmula de Bhaskara:

$m=\frac13$ e $m=-1$

Como a parábola tem concavidade para baixo, então o termo que acompanha x² em f(x) é negativo, ou seja:

$\boxed{m=-1}$