Question

Encontre o valor de c tal que a reta y = 3/2 x + 6 seja tangente à curva y = c√x

Answer 1

Para que a reta

$y=\dfrac{3}{2}x+6$

seja tangente à curva de equação

$y=c\sqrt{x}$


A inclinação da reta deve ser igual ao valor da derivada da equação da curva (em relação a $x$);

A curva e a reta se interceptam no ponto de tangência.


$\bullet\;\;$ A inclinação da reta (coeficiente angular) é $\dfrac{3}{2}$

$\bullet\;\;$ A derivada da equação da curva é

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(c\sqrt{x} \right )\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=c\cdot \dfrac{d}{dx}\left(\sqrt{x} \right )\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=c\cdot \dfrac{d}{dx}\left(x^{1/2} \right )\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=c\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{1/2-1}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=c\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-1/2}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=c\cdot \dfrac{1}{2x^{1/2}}\\ \\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{c}{2\sqrt{x}}$


Como curva e a reta se interceptam no ponto de tangência, devemos igualar as duas equações:

Sabemos que $x \geq 0$, pois está dentro de uma raiz quadrada.

$\dfrac{3}{2}x+6=c\sqrt{x}\\ \\ 3x+12=2c\sqrt{x}\\ \\ 3x-2c\sqrt{x}+12=0\;\;\;\;(i)$


A inclinação da reta é igual à derivada da curva no ponto de tangência:

$\dfrac{3}{2}=\dfrac{c}{2\sqrt{x}}\\ \\ 2c=3\cdot 2\sqrt{x}\\ \\ 2c=6\sqrt{x}\\ \\ c=\dfrac{6\sqrt{x}}{2}\\ \\ c=3\sqrt{x}\;\;\;\;\;(ii)$


Substituindo $(ii)$ em $(i)$, temos

$3x-2\cdot \left(3\sqrt{x} \right )\cdot \sqrt{x}+12=0\\ \\ 3x-6\left(\sqrt{x} \right )^{2}+12=0\\ \\ 3x-6x+12=0\\ \\ -3x+12=0\\ \\ 3x=12\\ \\ x=\dfrac{12}{3}\\ \\ x=4$

(a reta é tangente à curva em $x=4$)


Substituindo o resultado encontrado em $(ii)$

$c=3\sqrt{x}\\ \\ c=3\sqrt{4}\\ \\ c=3\cdot 2\\ \\ c=6$