Question

Encontre o valor de a para que o sistema {

2x − y + 3z = a
x + 2y − z = 3
7x + 4y + 3z = 13

seja possível.

Answer 1

Oi! Resolveremos esse exercício sobre sistemas lineares.

• O que é um sistema linear?

Um sistema linear é um conjunto finito de equações lineares com n incógnitas.

• Classificação

Um sistema linear pode ser classificado como:

➫ SPD (sistema possível determinado): Há apenas uma solução possível. O determinante principal é diferente de zero.

➫ SPI (sistema possível indeterminado): Há infinitas soluções. O determinante principal e os secundários são iguais a zero.

➫ SI (sistema impossível): Não há soluções. O determinante principal é igual a zero e pelo menos um determinante secundário é diferente de zero.

• Cálculo do determinante principal

Vamos calcular o determinante principal do sistema:

$\begin{cases}2x-y+3z=a\\x+2y-z=3\\7x+4y+3z=13\end{cases}$

Montando a matriz A:

$A=\begin{bmatrix}2&-1&3\\1&2&-1\\7&4&3\end{bmatrix}$

Calculando seu determinante:

$detA=\begin{vmatrix}2&-1&3\\1&2&-1\\7&4&3\end{vmatrix}\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\\7&4\end{vmatrix}$

➢ Diagonais principais (DP)

$2\cdot2\cdot3=12\\\\(-1)\cdot(-1)\cdot7=7\\\\3\cdot1\cdot4=12$

▴ Soma

$12+7+12=31$

➢ Diagonais secundárias (DS)

$3\cdot2\cdot7=42\\\\2\cdot(-1)\cdot4=-8\\\\(-1)\cdot1\cdot3=-3$

▴ Soma

$42-8-3=31$

➢ DP - DS

$31-31=0$

detA = 0

Logo, o determinante principal desse sistema vale zero.

• Análise do problema

Já que o determinante principal vale zero, esse sistema pode ser SPI ou SI. Queremos que esse sistema seja possível. Então, ele será SPI. Para isso, seus determinantes secundários devem ser iguais a zero (Dx = 0; Dy = 0; Dz = 0).

• Cálculo dos determinantes secundários

Para calcular o determinante secundário, os termos independentes devem substituir uma das incógnitas.

➫ Começaremos calculando o determinante secundário Dx.

$Dx=\begin{vmatrix}a&-1&3\\3&2&-1\\13&4&3\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a&-1\\3&2\\13&4\end{vmatrix}$

➢ Diagonais principais (DP)

$3\cdot2\cdot13=78\\\\a\cdot(-1)\cdot4=-4a\\\\(-1)\cdot3\cdot3=-9$

▴ Soma

➢ Diagonais secundárias (DS)

▴ Soma

➢ DP - DS

▴ Se Dx = 0

➫ Agora, calcularemos o determinante secundário Dy.

➢ Diagonais principais (DP)

▴ Soma

➢ Diagonais secundárias (DS)

▴ Soma

➢ DP - DS

▴ Se Dy = 0

➫ Por último, vamos calcular Dz.

➢ Diagonais principais (DP)

▴ Soma

➢ Diagonais secundárias (DS)

▴ Soma

➢ DP - DS

▴ Se Dz = 0

• Qual é a resposta?

Para que o sistema seja possível, a deve valer 2. Portanto, o conjunto solução é:

☑ Saiba mais em:

1. Determinante: https://brainly.com.br/tarefa/5085383

2. Sistemas: https://brainly.com.br/tarefa/4888767

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥️