Question

Encontre o valor de "a" de forma que o conjunto solução da inequação (ax+45)(56−4x)3(14x+5)10≥0 seja dado pelo conjunto (−∞,5]∪[14,∞).

Answer 1

(56−4x)3(14x+5)10≥0

$(a+45)\cdot(56-4x)\cdot 3\cdot(14x+5)\cdot10\geq0$

Observe que o 3 e o 10 não alteram a análise dos sinais, então podemos desprezar eles.

$(a+45)\cdot(56-4x)\cdot(14x+5)\geq0$

Podemos colocar o 4 em evidência:

$(a+45)\cdot4\cdot(14-x)\cdot(14x+5)\geq0$

Desprezando o 4, já que ele não altera o sinal (positivo ou negativo):

$(a+45)\cdot(14-x)\cdot(14x+5)\geq0$

Vamo analisar cada função separadamente:

$\overbrace{(ax+45)}^{f(x)}\cdot\overbrace{(14-x)}^{g(x)}\cdot\overbrace{(14x+5)}^{h(x)}\geq0$

Vamos analisar g(x) e h(x) separadamente:

(Olhe a imagem em anexo, já que o código não compila)

Percebe-se que nossa função f(x) precisa ter raíz -5/14 e 5 e ser decrescente para o conjunto (−∞,5]∪[14,∞) ser solução.

$ax+45 = -1\left(x+\dfrac{5}{14}\right)\left(x-5\right)$

$ax+45 = -x^2 +\dfrac{65}{14}x +\dfrac{25}{14}$

$ax= -x^2 +\dfrac{65}{14}x +\dfrac{25}{14}-45$

$ax= -x^2 +\dfrac{65}{14}x -\dfrac{605}{14}$

$a=\left( -x^2 +\dfrac{65}{14}x -\dfrac{605}{14}\right)\cdot\dfrac{1}{x}$