Question

Encontre o valor da equação

Answer 1

Primeiro aplico o seno dos dois lados da equação:

$sen(arcsen(x)) = sen\left(arccos\left( \dfrac{\sqrt{2} \cdot x}{4}\right)\right)$

Sabendo que: $sen(arcsen(x)) = x$:

$x= sen\left(arccos\left( \dfrac{\sqrt{2} \cdot x}{4}\right)\right)$

Agora elevo ao quadrado dos dois lados da equação:

$x^2 = sen^2\left(arccos\left( \dfrac{\sqrt{2} \cdot x}{4}\right)\right)$

Sabendo que:

$sen^2(x) = 1 - cos^2(x)$

Substituo:

$x^2 = 1 - cos^2\left(arccos\left( \dfrac{\sqrt{2} \cdot x}{4}\right)\right)$

$x^2 = 1 - \left(cos\left(arccos\left( \dfrac{\sqrt{2} \cdot x}{4}\right)\right)\right)^2$

Agora, sabendo que:

$cos(arccos(x)) = x$

Teremos:

$x^2 = 1 - \left( \dfrac{\sqrt{2} \cdot x}{4}\right)^2$

$x^2 = 1 - \dfrac{2 \cdot x^2}{16}$

Simplificando:

$x^2 = 1 - \dfrac{x^2}{8}$

Passando os termos com x para a esquerda:

$x^2 + \dfrac{x^2}{8} = 1$

$\dfrac{9 \cdot x^2}{8} = 1$

$x^2 = \dfrac{8}{9}$

$x = \pm \sqrt{\dfrac{8}{9}}$

$x = \pm \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}$

$x = \pm \dfrac{2 \cdot \sqrt{2}}{3}$

Como seno e cosseno só se igualam no primeiro quadrante, uso apenas a parte positiva:

$\boxed{x = \dfrac{2 \cdot \sqrt{2}}{3}}$