Question

encontre o valor da Camila k e r de modo que o sistema abaixo nas variáveis x e y admita soluções diferentes da trivial

Answer 1

Vamos lá.

i) Pede-se para encontrar o valor de "k", com "k" ∈ R, de modo que o sistema abaixo admita soluções diferentes da trivial.

{x + 2y = kx  ------ passando-se "kx" para o 1º membro, temos:

x - kx + 2y = 0     . (I)

{3x + 2y = ky  ---- passando-se "ky" para o 1º membro, temos:

3x + 2y - ky = 0   . (II)

ii) Agora vamos trabalhar com cada uma das duas expressões acima.

ii.1) Trabalhando com a expressão (I), teremos:

x - kx + 2y = 0 ----- colocando-se "x" em evidência, ficaremos com:

(1-k)x + 2y = 0      . (III)

ii.2) Trabalhando com a expressão (II), teremos:

3x + 2y - ky = 0 ---- colocando-se "y" em evidência ficaremos com:

3x + (2-k)y = 0     . (IV)

iii) Agora veja que ficamos com outro sistema, que é o formado pelas expressões (III) e (IV) e que são estas:

{(1-k)x + 2y = 0     . (III)

{3x + (2-k)y = 0    . (IV)

Agora note: quando uma solução de um sistema é trivial é quando suas variáveis são todas iguais a "0". Note que no sistema acima, se substituirmos o "x' e o "y" por zero iremos ver que é uma solução. Mas queremos que este sistema seja SPI (Sistema Possível e Indeterminado) e, assim, que tenhamos infinitas soluções (e não apenas a solução trivial). Então vamos formar uma matriz com os coeficientes de "x" e de "y" acima. Fazendo isso, teremos a seguinte matriz que vamos igualá-la a zero:

|1-k..........2|

|3........2-k| = 0 ----- desenvolvendo para encontrar o determinante, termos:

(1-k)*(2-k) - 3*2 = 0 ---- desenvolvendo, teremos:

2 - 3k + k² - 6 = 0 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:

k² - 3k - 4 = 0 ------ se você aplicar Bháskara encontrará as seguintes raízes:

k' = - 1 e k'' = 4 <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.