Question

Encontre o valor da área formado entre as funções f(x) = x² e g(x) = 4.

Answer 1

• Raízes:

Primeiro vamos encontrar as raízes de cada uma das funções:

→ Lembre-se que a raiz de uma função é dada quando igualamos a função a "0".

• f(x) = x²:

$\boxed{ \sf f(x) = x {}^{2} \rightarrow x {}^{2} = 0 \rightarrow x = \sqrt{0} = \sf x = \pm0 }$

• g(x) = 4

Essa função é constante, portanto é apenas uma reta sobre esse valor de g(x), ou seja, "y".

• Gráfico:

Após ter encontrado essas raízes, devemos montar um esboço de gráfico bem resumido, lembre-se de colocar os esboços em um mesmo plano cartesiano.

(Está anexado na questão).

Note que forma-se uma área entre f(x) e g(x), que é justamente o que queremos saber, mas para que possamos calcular de fato essa área, temos que calcular os pontos que representam o começo e o fim dessa área.

• Limiares:

$\sf f(x) = g(x) \\ \\ \sf x {}^{2} = 4 \\ \sf x = \sqrt{4} \\ \boxed{ \sf x = \pm2}$

Esse será o intervalo a qual a integral estará submetida.

• Integração:

• A função que será integrada, será dada pela subtração da função g(x) pela função f(x).

$\sf \int_{- 2}^{2} (4 - x {}^{2})dx$

Integrando a função:

$=\sf \int_{- 2}^{2}( 4 - x {}^{2} )dx = \sf \sf \int_{- 2}^{2} \frac{4x {}^{0 + 1} }{0 + 1} - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} \\ \\ \sf = \sf \int_{- 2}^{2} \frac{4x {}^{1} }{1} - \frac{x {}^{3} }{3} \sf =\boxed{ \sf \int_{- 2}^{2} 4x - \frac{x {}^{3} }{3}}$

Agora é só aplicar o Teorema fundamental do cálculo:

$\sf \int 4x - \frac{x {}^{3} }{3} \: \: \begin{array}{|}_ 2 \\ \\ ^{ - 2} \end{array} = \\ \\ \sf = 4x - \frac{x {}^{3} }{3} - \left( 4x - \frac{x {}^{3} }{3} \right) = \\ \\ \sf = 4.2 - \frac{2 {}^{3} }{3} - \left(4 .( - 2) - \frac{( - 2) {}^{3} }{3} \right) = \\ \\ \sf = 8 - \frac{8}{3} - \left( - 8 - \frac{ - 8}{3} \right) = \\ \\ \sf = 8 - \frac{8}{3} - \left( - 8 - \left(- \frac{8}{3} \right)\right) = \\ \\ \sf = 8 - \frac{8}{3} - \left( - 8 + \frac{8}{3} \right) = \\ \\ \sf = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = \\ \\ \sf = 16 - \frac{16}{3} = \frac{16.3 - 16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \boxed{\sf = \frac{32}{3} u.a}$

Espero ter ajudado