Question

Encontre o resultado da integral indefinida

∫5sen2x(cos2x)dx

Answer 1

Vamos fazer uma substituição de variável:

$u=\sin(2x)\\\\ du=\cos(2x)\cdot2dx\iff du=2\cos(2x)dx\iff dx=\dfrac{du}{2\cos(2x)}$

Calculando a expressão de dentro da integral usando o que foi feito acima:

$5\sin(2x)\cos(2x)dx=5u\cos(2x)\cdot\dfrac{du}{2\cos(2x)}\\\\ \iff 5\sin(2x)\cos(2x)dx=\dfrac{5}{2}u\,du$

Logo:

$I=\displaystyle\int5\sin(2x)\cos(2x)\,dx=\displaystyle\int\dfrac{5}{2}u\,du\\\\ I=\dfrac{5}{2}\dislplaystyle\int u\,du\\\\ I=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{u^2}{2}+C\\\\ I=\dfrac{5u^2}{4}+C$

Desfazendo a substituição:

$I=\dfrac{5u^2}{4}+C\\\\ \text{Mas:}~u=\sin(2x)\\\\ I=\dfrac{5(\sin(2x))^2}{4}=\dfrac{5}{4}\sin^2(2x)+C\\\\\\ \boxed{\displaystyle\int5\sin(2x)\cos(2x)\,dx=\dfrac{5}{4}\sin^2(2x)+C}$