Question

Encontre o raio r e a altura h do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com raio de 96 e altura de 54.

Answer 1

Resposta:

raio r = 64

altura h = 18

Explicação passo-a-passo:

Cone:

R = 96

H = 54

Volume cilindro:

V= $\pi$ r² h (I)

Para eliminar uma das variável na equação do volume de um cilindro podemos usar semelhança de triângulos.

(54 - h)/r = 54/96

96×(54 - h) = 54 r

(96×54) - 96 h =  54  r

(96×54) - 54  r =  96 h

96 h =  (54×96) - 54  r

h = ((54×96) - 54  r) / 96

h = (54/96) (96 - r)

h = (9/16) (96 - r)

h = 54 - (9/16) r

h = 54 - (9/16) r

Substituindo em (I):

V= $\pi$ r² h

V= $\pi$ r²  [54 - (9/16) r]

V= 54 $\pi$ r² - (9/16) $\pi$ r³

O raio desse cilindro não pode exceder o raio do cone (que serão os intervalos). Logo:

0 ≤ r ≤ 96

Calculando a derivada do volume em relação ao raio temos:

dV/dr = d(54 $\pi$ r² - (9/16) $\pi$ r³)/dr = 2×54 $\pi$ r - 3×(9/16) $\pi$ r² = 108 $\pi$ r - (27/16) $\pi$ r²

Equacionando dV (derivada do volume) temos:

dV/dr = 0

0 = 108 $\pi$ r - (27/16) $\pi$ r²

Dividindo toda expressão por  9 $\pi$ r, temos:

0 = 12 - (3/16) r

(3/16) r = 12

r = (16×12)/3

r = 64

Substituindo r na seguinte fórmula temos:

h = 54 - (9/16) r

h = 54 - (9/16) × 64

h = 54 - 36

h = 18